高中数学人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题表格教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题表格教案设计，共6页。教案主要包含了问题背景分析，建立统计模型，多元线性回归模型，模型改进等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
建立统计模型进行预测(第二课时)
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册A版
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1、分析影响PM2.5浓度的各因素之间是否独立，选择合理的因素建立模型；
2、采用多元线性回归模型进行预测或控制，使分析更加客观和精准。
教学内容
教学重点：运用多元线性回归分析的方法，建立回归模型，研究PM2.5浓度与汽车流量、气温、空气湿度、风速等因素之间的关系。
教学难点：利用全子集回归，分析多个因素的重要性主次，统计软件的运用。
教学过程
一、问题背景分析
影响PM2.5浓度的因素很多，原因也比较复杂，我们甚至不能确定地了解PM2.5产生的原因。上节课，我们通过收集数据、分析数据，详细研究了PM2.5浓度与汽车流量的关系。得出结论：认为PM2.5浓度与汽车流量之间的回归方程具有统计学意义。
本节课研究影响PM2.5浓度的多个因素（汽车流量、气温、空气湿度、风速）与PM2.5浓度的回归模型。
(1)影响PM2.5浓度的各因素之间是否独立，这些因素的选择是否合理；
(2)PM2.5浓度受到多个因素的影响，能否采用多元线性回归模型进行预测或控制，使分析更加客观和精确。
二、建立统计模型
1、绘制散点图
为了方便研究，我们使用R软件，用plt函数画出散点图。
图中呈现的是汽车流量、平均气温、空气湿度、风速、PM2.5相互之间的散点图。
从中可以发现PM2.5浓度随着汽车流量的增加而增加，有较好的线性相关性。还可以看出PM2.5浓度随着风速的增大而减小，呈现负相关性。而汽车流量、平均气温、空气湿度、风速之间没有明显的相关关系。
二、一元线性回归模型
我们先来研究PM2.5浓度与风速的关系。绘制散点图。从图中可以看出，PM2.5浓度与风速之间是一种相关关系，大致呈现负线性相关性。
利用最小二乘法对模型参数进行估计。得到了PM2.5浓度关于风速的回归方程。画出回归直线，样本点均匀分布在回归直线两侧，拟合效果较好。
在R中输入summary函数，可以输出详细的回归结果。
回归系数估计。a估计量是152.47，b估计量是－42.26，p值小于0.05，检验系数显著不为零，说明风速是影响PM2.5浓度的一个显著性因素。
线性关系显著性检验，P值小于0.05说明PM2.5浓度与风速的线性关系是显著的。回归方程具有统计学意义。
决定系数反映了风速对回归的贡献，说明PM2.5浓度总变异的37.33%与风速有关。
三、多元线性回归模型
多元线性回归模型
在R软件的工作区域输入“fit1=lm(PM2.5浓度~汽车流量+平均气温+空气湿度+风速, w)”，建立多元回归方程并进行相关分析。
在R中输入summary，可以输出详细的回归结果。其中汽车流量和风速对应的p值小于0.05，说明系数显著不为零，即汽车流量和风速都是影响PM2.5浓度的显著性因素。
由F检验可以看出线性关系显著性程度，P值小于0.05说明PM2.5浓度与这些变量总的线性关系是显著的。回归方程具有统计学意义。
调正后的R2值由一元回归的0.3733变为现在的0.6886，说明拟合效果变好了。
画出残差图，残差均匀分布在水平轴两侧，且分布的带状区域较窄，说明拟合效果较好。
四、模型改进
在进行多因素回归时，为了得到简洁有效的模型，我们会做变量筛选（模型选择）。常用的统计学筛选方法有逐步回归（向前法、后退法、向前后退混合法）以及全子集回归（All-Subsets Regressin，All Pssible Regressin）。全子集回归可以对所有预测变量的可能组合模型都拟合一下，然后根据某标准（如R2、校正的R2、MSE、Cp、AIC、SBIC等）筛选出现有变量条件下的最佳模型，又叫最优子集筛选（Best Subset Selectin）。
在R软件的工作区域输入“library(car)”，“library(leaps)”载入工具包，再输入“mdel1=regsubsets(PM2.5浓度~汽车流量+平均气温+空气湿度+风速,w) ”进行全子集回归。
此处我们根据校正的R2筛选出现有变量条件下的最佳模型。
比较调整后的R2，发现没有空气湿度的模型拟合效果最佳。其次是4各变量，再是没有平均气温、和空气湿度。最后是汽车流量。
由此看出并不是变量越多越好，变量增加需要收集更多数据，工作量增大。
另一方面，增加无用变量，变量间出现多重共线性，反而会增加误差。
重新用汽车流量、平均气温、风速进行拟合，在R中输入summary，输出详细的回归结果。其中汽车流量，风速的p值小于0.05，检验系数显著不为零，说明汽车流量、风速是影响PM2.5浓度的一个显著性因素。
由F检验看出线性关系显著性检验，P值小于0.05说明PM2.5浓度与这些变量总的线性关系是显著的。回归方程具有统计学意义。
调正后的R2值由0.6886变为0.7037，说明拟合效果变好了。
最终我们得到多元回归模型。汽车每增加100辆，空气中的PM2.5浓度平均可能增加11.1375微克每立方米。
风速每增加1m/s，空气中的PM2.5浓度平均可能减少21.989微克每立方米。
课堂小结