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人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第二课时学案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第二课时学案设计，共21页。
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．
问题 具有相关关系的两个变量的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).预测值eq \(y,\s\up6(^))与真实值y一样吗？预测值eq \(y,\s\up6(^))与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示 不一定；越小越好．
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq \(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
2．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
(2)残差平方和法
残差平方和eq \(∑,\s\up10(n),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
(3)利用R2刻画回归效果
决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．
R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
拓展深化
[微判断]
1．残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．(√)
2．在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．(×)
提示 在画两个变量的散点图时， 响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．
3．R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．(×)
提示 R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好．
[微训练]
1．在残差分析中， 残差图的纵坐标为__________．
答案 残差
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？
解 R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．
[微思考]
在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？
提示 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.
题型一 线性回归分析
【例1】 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解 eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xi yi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(620－5×18×7.4,1 660－5×182)＝－1.15，
eq \(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是eq \(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
所以eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝53.2，
R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)≈0.994，
所以回归模型的拟合效果较好．
规律方法 (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
(2)刻画回归效果的三种方法
①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
②残差平方和法：残差平方和eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．
③决定系数法：R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回归的效果越好．
【训练1】 某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
解 （1）由所给数据计算得
eq \(t,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)× (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2 ＝9+4+1+0+1+4+9=28,
eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－))) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i＝1))(ti－eq \(t,\s\up6(－))) (yi－eq \(y,\s\up6(－))),eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i＝1))(ti－eq \(t,\s\up6(－)))2)
=eq \f(14,28)＝0.5，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，
所以所求回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知eq \(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得eq \(y,\s\up6(^))＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．
题型二 残差分析与相关指数的应用
【例2】 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．
解 (1)散点图如下．
(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，又eq \(x,\s\up6(－))＝30.36，eq \(y,\s\up6(－))＝43.5，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝5 101.56，
eq \a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )eq \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) )＝1 320.66，eq \(x,\s\up6(－))2＝921.729 6，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xiyi＝6 746.76.
则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)≈0.29，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))≈34.70.
故所求的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.70.
当x＝56.7时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.
故估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由eq \(y,\s\up6(^))i＝eq \(b,\s\up6(^))xi＋eq \(a,\s\up6(^))，可以算得eq \(e,\s\up6(^))i＝yi－eq \(y,\s\up6(^))i分别为eq \(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq \(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq \(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq \(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq \(e,\s\up6(^))5＝1.624，残差平方和：eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) eq \(e,\s\up6(^))eq \\al(2,i)≈8.43.
(4) eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝50.18，故R2≈1－eq \f(8.43,50.18)≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.
规律方法 (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差eq \(e,\s\up6(^))1，eq \(e,\s\up6(^))2，…，eq \(e,\s\up6(^))n来判断模型拟合的效果．
(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．
【训练2】 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析．
解 (1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
由表中数据，得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)
＝17.5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝ 2 275，eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))xiyi＝1 076.2.
计算得eq \(b,\s\up6(^))≈0.183，eq \(a,\s\up6(^))≈6.285.
故所求回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：
可得eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2≈0.013 18, eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2≈14.678 3.
所以R2＝1－eq \f(0.013 18,14.678 3)≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．
题型三 非线性回归分析
【例3】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝eq \r(xi)，eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1))wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.
根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （ui－\(u,\s\up6(－))）（vi－\(v,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （ui－\(u,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－)).
解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．
由于eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(8),\s\d10(i＝1)) （wi－\(w,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(8),\s\d10(i＝1)) （wi－\(w,\s\up6(－))）2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，
eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^))eq \(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(x).
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6(t)，
年利润z的预报值eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12.
所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，
即x＝46.24时，eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
规律方法 求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
【训练3】 下表为收集到的一组数据：
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为
求得回归直线方程为eq \(z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.
残差
(3)当x＝40时，eq \(y,\s\up6(^))＝e0.272×40－3.849≈1 131.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．
二、素养训练
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cs θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.
答案 D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是( )
A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
解析 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.
答案 ABD
3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
由上表可得回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))＝－5，据此模型预测当零售价为14.5元时，每天的销售量为( )
A．51个 B．50个
C．54个 D．48个
解析 由题意知eq \(x,\s\up6(－))＝17.5，eq \(y,\s\up6(－))＝39，代入回归直线方程得eq \(a,\s\up6(^))＝126.5，126.5－14.5×5＝54，故选C.
答案 C
4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
由此得到回归直线的斜率是__________．
解析 eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(0＋10＋20＋50＋70)＝30，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
由公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)可得eq \(b,\s\up6(^))≈0.880 9.
答案 0.880 9
5．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y与x之间的回归方程．
解 由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(k,x)，令t＝eq \f(1,x)，则eq \(y,\s\up6(^))＝kt，原数据变为：
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
所以eq \(t,\s\up6(－))＝1.55，eq \(y,\s\up6(－))＝7.2.
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))tiyi－5\a\vs4\al(\(t,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))teq \\al(2,i)－5\(t,\s\up6(－))2)≈4.134 4，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))≈0.8.
所以eq \(y,\s\up6(^))＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是
eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(4.134 4,x)＋0.8.
基础达标
一、选择题
1．已知某地财政收入x与支出y满足回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))＋ei(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中eq \(b,\s\up6(^))＝0.8，eq \(a,\s\up6(^))＝2，|ei|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．10亿元 B．9亿元
C．10.5亿元 D．9.5亿元
解析 eq \(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，
∵|ei|<0.5，∴9.5＜eq \(y,\s\up6(^))<10.5.
答案 C
2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
答案 A
3．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
解析 因为R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)，所以当R2越大时，eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2越小，即残差平方和越小．
答案 B
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需作变换t等于( )
A．sin2 α B．(sin α＋1)2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α＋\f(1,2)))eq \s\up12(2) D．以上都不对
解析 因为y是关于t的回归直线方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．
答案 B
5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2如下表：
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
答案 D
二、填空题
6．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表：
已知y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为__________万元．
解析 当x＝5时，eq \(y,\s\up6(^))＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于是残差为60－50＝10(万元)．
答案 10
7．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．
解析 由表格中数据可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(17＋13＋8＋2,4)＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(24＋33＋40＋55,4)＝38.
又∵eq \(b,\s\up6(^))≈－2，∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))≈38＋2×10＝58，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋58.当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝－2×6＋58＝46.
答案 46
8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了__________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的__________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
解析 由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案 85% 15%
三、解答题
9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xi＝80，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))yi＝20，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xiyi＝184，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)＝720.
(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解 (1)由题意知n＝10，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xi＝eq \f(1,10)×80＝8，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))yi＝eq \f(1,10)×20＝2，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(184－10×8×2,720－10×82)＝eq \f(24,80)＝0.3，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
10．为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
求y对x的回归方程．
解 作出散点图如图(1)所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为eq \(z,\s\up6(^))＝0.69x＋1.112.因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝e0.69x＋1.112.
能力提升
11．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算R2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2的值为( )
A．241.1 B．245.1
C．2 411 D．2 451
解析 由题意知残差平方和eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝120.55，又R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.95，所以eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝2 411.
答案 C
12．某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：
试求：电压U对时间t的回归方程(提示 对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)．
解 对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，y与x的对应数据如下表：
根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性相关关系，由表中数据求得eq \(x,\s\up6(－))＝5，eq \(y,\s\up6(－))≈3.045，由公式计算得eq \(b,\s\up6(^))≈－0.313，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝4.61，所以y对x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.313x＋4.61.
所以ln eq \(U,\s\up6(^))＝－0.313t＋4.61，即eq \(U,\s\up6(^))＝e－0.313t＋4.61＝e－0.313t·e4.61，因此电压U对时间t的回归方程为eq \(U,\s\up6(^))＝e－0.313t·e4.61.
创新猜想
13．(多选题)如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量关系的是( )
A．① B．② C．③ D．④
解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型．
答案 AC
14．(多选题)下列说法正确的是( )
A．残差的绝对值越小，回归方程的拟合效果越好
B．残差平方和越小，决定系数R2越大
C．决定系数R2可以大于1
D．通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的精确值
解析 R2的计算公式，知B正确，C错误；A，D均正确．
答案 ABD课标要求
素养要求
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
yi－eq \(y,\s\up6(^))i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－eq \(y,\s\up6(－))
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
yi－eq \(y,\s\up6(^))i
0.05
0.005
－0.08
－0.045
0.04
0.025
yi－eq \(y,\s\up6(－))
－2.237
－1.367
－0.537
0.413
1.413
2.313
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(w,\s\up6(－))
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
yi
7
11
21
24
66
115
325
eq \(y,\s\up6(^))i
6.443
11.101
19.125
32.950
56.770
128.381
290.325
eq \(e,\s\up6(^))i
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
温度x
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
I
ti
yi
tiyi
teq \\al(2,i)
1
4
16
64
16
2
2
12
24
4
3
1
5
5
1
4
0.5
2
1
0.25
5
0.25
1
0.25
0.062 5
∑
7.75
36
94.25
21.312 5
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/V
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．
问题 具有相关关系的两个变量的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).预测值eq \(y,\s\up6(^))与真实值y一样吗？预测值eq \(y,\s\up6(^))与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示 不一定；越小越好．
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq \(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
2．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
(2)残差平方和法
残差平方和eq \(∑,\s\up10(n),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
(3)利用R2刻画回归效果
决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．
R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
拓展深化
[微判断]
1．残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．(√)
2．在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．(×)
提示 在画两个变量的散点图时， 响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．
3．R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．(×)
提示 R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好．
[微训练]
1．在残差分析中， 残差图的纵坐标为__________．
答案 残差
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？
解 R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．
[微思考]
在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？
提示 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.
题型一 线性回归分析
【例1】 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解 eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xi yi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(620－5×18×7.4,1 660－5×182)＝－1.15，
eq \(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是eq \(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
所以eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝53.2，
R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)≈0.994，
所以回归模型的拟合效果较好．
规律方法 (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
(2)刻画回归效果的三种方法
①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
②残差平方和法：残差平方和eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．
③决定系数法：R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回归的效果越好．
【训练1】 某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
解 （1）由所给数据计算得
eq \(t,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)× (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2 ＝9+4+1+0+1+4+9=28,
eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－))) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i＝1))(ti－eq \(t,\s\up6(－))) (yi－eq \(y,\s\up6(－))),eq \(∑,\s\up10(7),\s\d10(i＝1))(ti－eq \(t,\s\up6(－)))2)
=eq \f(14,28)＝0.5，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，
所以所求回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知eq \(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得eq \(y,\s\up6(^))＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．
题型二 残差分析与相关指数的应用
【例2】 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．
解 (1)散点图如下．
(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，又eq \(x,\s\up6(－))＝30.36，eq \(y,\s\up6(－))＝43.5，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝5 101.56，
eq \a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )eq \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) )＝1 320.66，eq \(x,\s\up6(－))2＝921.729 6，
eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xiyi＝6 746.76.
则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)≈0.29，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))≈34.70.
故所求的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.70.
当x＝56.7时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.
故估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由eq \(y,\s\up6(^))i＝eq \(b,\s\up6(^))xi＋eq \(a,\s\up6(^))，可以算得eq \(e,\s\up6(^))i＝yi－eq \(y,\s\up6(^))i分别为eq \(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq \(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq \(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq \(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq \(e,\s\up6(^))5＝1.624，残差平方和：eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) eq \(e,\s\up6(^))eq \\al(2,i)≈8.43.
(4) eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝50.18，故R2≈1－eq \f(8.43,50.18)≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.
规律方法 (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差eq \(e,\s\up6(^))1，eq \(e,\s\up6(^))2，…，eq \(e,\s\up6(^))n来判断模型拟合的效果．
(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．
【训练2】 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析．
解 (1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
由表中数据，得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)
＝17.5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝ 2 275，eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))xiyi＝1 076.2.
计算得eq \(b,\s\up6(^))≈0.183，eq \(a,\s\up6(^))≈6.285.
故所求回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：
可得eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2≈0.013 18, eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2≈14.678 3.
所以R2＝1－eq \f(0.013 18,14.678 3)≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．
题型三 非线性回归分析
【例3】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝eq \r(xi)，eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1))wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.
根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （ui－\(u,\s\up6(－))）（vi－\(v,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （ui－\(u,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－)).
解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．
由于eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(8),\s\d10(i＝1)) （wi－\(w,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(8),\s\d10(i＝1)) （wi－\(w,\s\up6(－))）2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，
eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^))eq \(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(x).
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6(t)，
年利润z的预报值eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12.
所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，
即x＝46.24时，eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
规律方法 求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
【训练3】 下表为收集到的一组数据：
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为
求得回归直线方程为eq \(z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.
残差
(3)当x＝40时，eq \(y,\s\up6(^))＝e0.272×40－3.849≈1 131.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．
二、素养训练
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cs θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.
答案 D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是( )
A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
解析 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.
答案 ABD
3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
由上表可得回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))＝－5，据此模型预测当零售价为14.5元时，每天的销售量为( )
A．51个 B．50个
C．54个 D．48个
解析 由题意知eq \(x,\s\up6(－))＝17.5，eq \(y,\s\up6(－))＝39，代入回归直线方程得eq \(a,\s\up6(^))＝126.5，126.5－14.5×5＝54，故选C.
答案 C
4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
由此得到回归直线的斜率是__________．
解析 eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(0＋10＋20＋50＋70)＝30，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
由公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)可得eq \(b,\s\up6(^))≈0.880 9.
答案 0.880 9
5．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y与x之间的回归方程．
解 由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(k,x)，令t＝eq \f(1,x)，则eq \(y,\s\up6(^))＝kt，原数据变为：
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
所以eq \(t,\s\up6(－))＝1.55，eq \(y,\s\up6(－))＝7.2.
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))tiyi－5\a\vs4\al(\(t,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(5),\s\d10(i＝1))teq \\al(2,i)－5\(t,\s\up6(－))2)≈4.134 4，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))≈0.8.
所以eq \(y,\s\up6(^))＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是
eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(4.134 4,x)＋0.8.
基础达标
一、选择题
1．已知某地财政收入x与支出y满足回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))＋ei(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中eq \(b,\s\up6(^))＝0.8，eq \(a,\s\up6(^))＝2，|ei|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．10亿元 B．9亿元
C．10.5亿元 D．9.5亿元
解析 eq \(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，
∵|ei|<0.5，∴9.5＜eq \(y,\s\up6(^))<10.5.
答案 C
2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
答案 A
3．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
解析 因为R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)，所以当R2越大时，eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2越小，即残差平方和越小．
答案 B
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需作变换t等于( )
A．sin2 α B．(sin α＋1)2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α＋\f(1,2)))eq \s\up12(2) D．以上都不对
解析 因为y是关于t的回归直线方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．
答案 B
5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2如下表：
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
答案 D
二、填空题
6．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表：
已知y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为__________万元．
解析 当x＝5时，eq \(y,\s\up6(^))＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于是残差为60－50＝10(万元)．
答案 10
7．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．
解析 由表格中数据可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(17＋13＋8＋2,4)＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(24＋33＋40＋55,4)＝38.
又∵eq \(b,\s\up6(^))≈－2，∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))≈38＋2×10＝58，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋58.当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝－2×6＋58＝46.
答案 46
8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了__________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的__________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
解析 由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案 85% 15%
三、解答题
9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xi＝80，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))yi＝20，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xiyi＝184，eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)＝720.
(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解 (1)由题意知n＝10，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xi＝eq \f(1,10)×80＝8，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))yi＝eq \f(1,10)×20＝2，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) )\a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(184－10×8×2,720－10×82)＝eq \f(24,80)＝0.3，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
10．为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
求y对x的回归方程．
解 作出散点图如图(1)所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为eq \(z,\s\up6(^))＝0.69x＋1.112.因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝e0.69x＋1.112.
能力提升
11．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算R2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2的值为( )
A．241.1 B．245.1
C．2 411 D．2 451
解析 由题意知残差平方和eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝120.55，又R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)＝0.95，所以eq \(∑,\s\up10(10),\s\d10(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝2 411.
答案 C
12．某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：
试求：电压U对时间t的回归方程(提示 对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)．
解 对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，y与x的对应数据如下表：
根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性相关关系，由表中数据求得eq \(x,\s\up6(－))＝5，eq \(y,\s\up6(－))≈3.045，由公式计算得eq \(b,\s\up6(^))≈－0.313，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝4.61，所以y对x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.313x＋4.61.
所以ln eq \(U,\s\up6(^))＝－0.313t＋4.61，即eq \(U,\s\up6(^))＝e－0.313t＋4.61＝e－0.313t·e4.61，因此电压U对时间t的回归方程为eq \(U,\s\up6(^))＝e－0.313t·e4.61.
创新猜想
13．(多选题)如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量关系的是( )
A．① B．② C．③ D．④
解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型．
答案 AC
14．(多选题)下列说法正确的是( )
A．残差的绝对值越小，回归方程的拟合效果越好
B．残差平方和越小，决定系数R2越大
C．决定系数R2可以大于1
D．通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的精确值
解析 R2的计算公式，知B正确，C错误；A，D均正确．
答案 ABD课标要求
素养要求
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
yi－eq \(y,\s\up6(^))i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－eq \(y,\s\up6(－))
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
yi－eq \(y,\s\up6(^))i
0.05
0.005
－0.08
－0.045
0.04
0.025
yi－eq \(y,\s\up6(－))
－2.237
－1.367
－0.537
0.413
1.413
2.313
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(w,\s\up6(－))
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
yi
7
11
21
24
66
115
325
eq \(y,\s\up6(^))i
6.443
11.101
19.125
32.950
56.770
128.381
290.325
eq \(e,\s\up6(^))i
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
温度x
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
I
ti
yi
tiyi
teq \\al(2,i)
1
4
16
64
16
2
2
12
24
4
3
1
5
5
1
4
0.5
2
1
0.25
5
0.25
1
0.25
0.062 5
∑
7.75
36
94.25
21.312 5
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/V
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
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