新高考数学二轮复习专项训练5 基本初等函数、函数与方程（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练5 基本初等函数、函数与方程（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分02
故定义域为.
故答案为：
19．
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
当，即时，取到最小值，且.
故答案为：
20．（不唯一）
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为都是减函数，
所以是减函数，
又，
即，
所以函数在上有零点，且，
故答案为（不唯一）
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·湖南常德·一模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（21-22高二下·河北秦皇岛·期末）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
7．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·山东威海·一模）若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
10．（22-23高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周B．24周C．28周D．26周
二、多选题
11．（2023·安徽合肥·一模）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
12．（2023·重庆九龙坡·二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·湖北·模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
15．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
16．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
17．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ．
18．（22-23高三下·广东佛山·开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是 ．
参考答案：
1．A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在1,+∞上的单调性排除D，从而判断选项.
【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误;
对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误;
对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在1,+∞单调递减，故D错误;
利用排除法可以得到，在满足题意，A正确.
故选：A
2．C
【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.
【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
3．A
【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
故，
故选：A
4．D
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论.
【详解】，
而，且．
所以，故．
故选：D.
5．A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
6．A
【分析】要使函数fx=m2+m−1xm是幂函数，且在0,+∞上为增函数，求出，可得函数gx为奇函数，即充分性成立；函数gx=2x−m2⋅2−x为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数fx=m2+m−1xm是幂函数，且在0,+∞上为增函数，
则m2+m−1=1m>0，解得：，当时，gx=2x−2−x，，
则g−x=2−x−2x=−2x−2−x=−gx，所以函数gx为奇函数，即充分性成立；
“函数gx=2x−m2⋅2−x为奇函数”，
则gx=−g−x，即2x−m2⋅2−x=−2−x−m2⋅2x=m2⋅2x−2−x，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
7．C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点0,2）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
8．B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
9．C
【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.
【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点，
即只有1个解，
令，则，，
当时，单调递增，当时，单调递减，并且，
所以， ，函数的大致图像如下图：
，原不等式为： ，即，
令，显然在时是增函数，又，
的解集是.
故选：C.
10．D
【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得．
【详解】，由，，得，，
两式相减得，则，所以，.
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，
则，即，解得，
故至少需要通风26周.
故选：D．
11．BC
【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.
【详解】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
12．BCD
【分析】设，得到， ， ，再逐项判断.
【详解】解：设，
则，，
，，
，，
所以，
，因为，所以，则等号不成立，
所以，则，
因为，所以，
故选：BCD
13．BCD
【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出，利用均值不等式判断A，重要不等式判断B，转化为二次函数判断C，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.
【详解】由题得点，即，
所以，即，当且仅当时取等号，故A错误；
，当且仅当时取等号，故B正确；，故C正确；
由，，，且取不到等号，故，故D正确．
故选：BCD
14．ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．
15．或
【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，即，解得，
这与矛盾；
当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；
则实数的取值范围为或．
故答案为：或．
16．
【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.
【详解】若命题任意“，”为假命题，
则命题存在，为真命题，
因为时，，
令，则，
则在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
17．
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围.
【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为，
在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R，
方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点，
所以方程的实数解个数为3时取值范围是.
故答案为：
18．
【分析】根据已知对式子进行变形，再利用两个函数互为反函数的性质以及导数，研究函数的单调性以及最值进行求解.
【详解】因为对任意的正实数x都有恒成立，
所以，即对任意的正实数x恒成立，
因为函数与函数互为反函数，且，
所以对任意的正实数x恒成立，即，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，解得.
故答案为：.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
D
C
C
C
ABC
BC


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
B
B
B
B
D
B
题号
11
12
13
14
15
16




答案
B
C
ABD
ABD
AD
BC




题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
A
A
C
B
C
D
题号
11
12
13
14






答案
BC
BCD
BCD
ABD