新高考数学二轮复习专项训练7 函数的极值、最值（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练7 函数的极值、最值（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、利用导数研究函数的极值
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求定义域；(2)求导；(3)令f′(x)＝0；
(4)列表，检查f′(x)在方程根左、右值的符号；
(5)得出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”．
二、利用导数研究函数的最值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、由极值、最值求参数问题
已知函数极值求参数时需注意的问题
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．
一、单选题
1．（2023·陕西·一模）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
3．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（24-25高三上·广东·开学考试）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
5．（2022·山东泰安·二模）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
三、填空题
6．（22-23高三下·山东·开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ．
7．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
8．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
2．C
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
3．D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
4．BD
【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为R判断C；求出图象的对称中心判断D.
【详解】对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，
函数在R上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为R，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.
故选：BD
5．BD
【分析】先求导得，分和讨论函数的单调性及最值，依次判断4个选项即可.
【详解】由题意知：，，当时，，单增，无最大值，故C错误；
当时，在上，单增；在上，单减；
故，当，即时，无零点，故A错误；
若是的极值点，则，，故在单减，B正确；
若有两个零点，则，且，解得，
又时，，时，，此时有两个零点，D正确.
故选：BD.
6．或（写出其中的一个答案即可）
【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.
【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故答案为：或（写出其中的一个答案即可）
7．
【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，，
当时，f'x