新高考数学二轮复习专项训练4 函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练4 函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
二、函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
三、函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南益阳·一模）已知，则（ ）
A．B．0C．D．
3．（2023·福建·模拟预测）函数的图象大数为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东广州·二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·吉林·模拟预测）已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．0B．2022C．4044D．1011
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．A
【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域.
【详解】由题意得，，解得函数满足，解得，
即函数的定义域为.
故选:A
2．D
【分析】先求，再求，即可求解.
【详解】根据已知，
所以.
故选：.
3．C
【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案.
【详解】由题意可知，函数的定义域为.
又，
所以，函数为奇函数.
当时，，
则.
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可得，，有，
且当时，有，显然，
所以在上单调递增；
当时，有，显然，
所以在上单调递减.
因为，所以C项满足题意.
故选：C.
4．B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
5．B
【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解.
【详解】由可得，
则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上.
又由可知，函数的图象也关于点对称.
因此，函数与的图象的交点关于点对称.
不妨设，与关于点对称，
与关于点对称，…，与关于点对称，
则，
所以,
故选：B.
6．B
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值.
【详解】由可得，①
对任意的，，所以，，②
由①②可得，所以函数是周期为的周期函数．
因为为偶函数，则，
因为，由可得，且，
由可得，
因为，所以，，故函数为偶函数，
因为，则，所以，，
由可得，
因为，所以，
.
故选：B.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2021·山东滨州·二模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·北京石景山·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江西南昌·二模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．2025
9．（2023·河北邯郸·一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R上的函数是奇函数，对任意x∈R都有，当时，则等于（ ）
A．2B．−2C．0D．
11．（2023·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
13．（22-23高一上·四川·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数B．函数是奇函数
C．若，则的解集为D．函数()+为偶函数
14．（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
15．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（ ）
A．B．
C．D．的单调递增区间为
16．（2023·浙江·模拟预测）已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
17．（2023·河南·三模）已知函数，若，则的取值范围是 .
18．（2021·陕西咸阳·一模）若偶函数满足，则 ．
19．（2023·河南安阳·三模）已知函数是奇函数，则 .
20．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则定义域为，
故选：C.
2．B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
3．A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.
【详解】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.
故选：A．
4．C
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
5．D
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；
对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.
故选：D.
6．D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
7．C
【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，所以，所以的周期为6，
又为奇函数，所以，所以，
令，得，所以,
所以，
故选：C.
8．C
【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，
又为偶函数，所以关于直线对称，
所以为周期函数且周期，
∴，∵，∴，∴.
故选:C．
9．A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
10．A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.
【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，
故函数的图象关于直线对称，∴，故，
∴，∴是周期为4的周期函数．
则．
故选：A．
11．C
【分析】
判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
12．D
【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
13．ABC
【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，
因为函数是奇函数，所以，
由，可得，
因为函数是R上的减函数，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
14．BC
【分析】根据函数的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.
【详解】因为，所以为偶函数，
因为，
即，所以为奇函数，
所以为非奇非偶函数，A错误；
，所以为奇函数，B正确；
，所以是奇函数，C正确；
令，，为偶函数，D错误.
故选：BC．
15．BC
【分析】利用奇函数的性质f−x=−fx可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证D项.
【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误；
因为，所以，故C正确；
作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号.
故选：BC.
16．AC
【分析】逐个分析各函数的定义域、单调性、奇偶性及，使.
【详解】对A，，定义域为，在上单调递增，，所以为偶函数，又，故A正确
对B，，定义域为，为奇函数，故B错误；
对C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；
对D，因为在上分区间单调，故D错误.
故选：AC.
17．
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数，定义域为，且，
则
，
即，即为奇函数，
当时，，均单调递增，所以在上单调递增，
则在上单调递增，
所以是奇函数且在上单调递增，
由，可得，则，解得，
即的取值范围为.
故答案为：
18．-1
【解析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值.
【详解】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，
，
故答案为：
19．32/1.5
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.
【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知，
所以，，
所以，
故，
故答案为：
20．
【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值．
【详解】
如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，
而的图象即是图中勾勒出的实红线部分，
要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.
由联立解得，，故所求函数的最大值为．
故答案为：．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·海南海口·二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．－1
6．（2021·天津河西·三模）已知f(x)为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为，其中正确命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江西南昌·一模）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
11．（2023·浙江·三模）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2024·江苏宿迁·一模）下列命题正确的有（ ）
A．函数定义域为，则的定义域为
B．函数是奇函数
C．已知函数存在两个零点，则
D．函数在上为增函数
14．（2023·广东梅州·一模）对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A．B．，
C．D．，
15．（2024·广东湛江·二模）已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．在处取得极小值
D．若，则
16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ）
A．
B．4是函数的一个周期
C．
D．在区间上至少有1012个零点
17．（2025·江苏南通·一模）定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024·全国·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
三、填空题
19．（2022·湖北·模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为 .
20．（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a= .
21．（2023·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则 .
22．（2023·山东青岛·三模）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则 ．
参考答案：
1．D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
2．A
【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案．
【详解】解：因为函数是R上的偶函数，
所以函数的对称轴为，
又因为对任意，，且都有成立．
所以函数在上单调递增，
而，，，
所以，
所以，
因为函数的对称轴为，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
3．D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则．
因为为上的增函数，且，所以，
所以．因为在上单调递增，所以，得．
故选：D.
4．D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，
而对于，在上恒成立，
所以在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或.
故选：D.
5．B
【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.
【详解】由题意知，，，
令，则
显然时，不成立，故，
故，则，
即6为函数的周期，
则，
故选：B
6．D
【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【详解】由题设，，即是周期为2的函数，
令，则，而时；，
∴.
∴综上：且在上周期为2.
∵f(x)为定义在上的偶函数，
∴在上周期为2且.
①，正确；
②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数，错误；
③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数f(x)如下图示，其值域为，正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用函数关系及偶函数性质，判断函数的周期性及相应区间上的解析式，应用数形结合的方法判断各项的正误即可.
7．C
【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为：或，
故选：C
8．B
【分析】依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案.
【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数
的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在出的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或.
故选：B.
9．A
【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.
【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，
故选：A
10．C
【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.
【详解】，①
，
即，所以，
所以函数的图象关于对称，
令，则，所以，
令，，又，所以，
又，，②
即函数的图象关于直线对称，
且由①和②，得，
所以，则函数的一个周期为4，
则，
所以.
故选：C
11．A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设，则有，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当时，，排除C；
故选：A.
12．A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.
【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
13．AB
【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.
【详解】对于A，由函数定义域为，则，
因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，函数定义域为R，
且，所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，
则可得，令，，
结合函数图象可设，，则，

所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；
对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.
故选：AB.
,
14．ACD
【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确；
B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；
C.，，而，
所以，，
由， ，，则，则，故C正确；
当时，，，
令，则，，
则，即，故D正确.
故选：ACD
15．ABD
【分析】根据条件，通过适当的赋值，即可判断出选项ABD的正误，选项C，通过取特殊的函数，即可判断出选项的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，令，得，解得或，
当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，
对于选项B，令，则，即，
即为偶函数，所以选项B正确，
对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，
对于选项D，令，得，
若，则，则，
则，所以选项D正确，
故选：ABD.
16．ABD
【分析】根据题意利用赋值法求得判断A，利用的对称性与奇偶性判断BC，利用的周期性判断D.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，为奇函数，
所以，则，
令，则，，故A正确；
对于B，，所以，则，
所以，故，故B正确；
对于C，假设，则，
又，函数的定义域为，
所以即是奇函数又是偶函数，则恒成立，与题干矛盾，故C错误；
对于D，因为，，所以，
所以在上至少有两个零点，
又，即为周期为4的偶函数，而，
所以在区间上至少有个零点，故D正确.
故选：ABD.
17．AC
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.
【详解】由，令，则，
又为偶函数，则，A对；
由上，得①，
在①式，将代换，得②，B错；
在②式，将代换，得，C对；
由且，即周期为2且关于对称，
显然是满足题设的一个函数，此时，D错.
故选：AC
18．BCD
【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点2,0为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，即，
所以f1+x=f1−x，
所以的图象关于直线对称.
因为的图象关于点0,1对称，
所以，即，
所以的图象关于点2,0对称.
所以.
令，得.
由f1+x=f1−x，可得，
故即，
所以，
所以函数的周期，
所以，又不恒为零，
所以错误，A错误，
，B正确；
因为的图象关于直线对称，的图象关于点2,0对称，
所以，
所以为函数的对称轴，
结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴，
所以是函数图象的一条对称轴，C正确；
因为f1+x=f1−x，，
所以，
所以原点为函数的一个对称中心，
结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心，
所以点是函数图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
19．1
【分析】分，讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
20．1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令，则，则
令
当时，在上单调递增，
则，即的最大值为
则，解之得.
当时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为
则，解之得（舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
21．
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算出的值，结合以及周期性可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
故答案为：.
22．
【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.
【详解】令，则，；
令，，则，又，；
令，则，关于直线对称；
令，则，
不恒成立，恒成立，为奇函数，
，，
是周期为的周期函数，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
D
C
B
B
B




题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
D
D
C
C
A
A
题号
11
12
13
14
15
16




答案
C
D
ABC
BC
BC
AC




题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
B
D
C
B
A
C
题号
11
12
13
14
15
16
17
18


答案
A
A
AB
ACD
ABD
ABD
AC
BCD