2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立能成立问题课件

这是一份2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立能成立问题课件，共52页。

关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　分离参数法解决恒(能)成立问题——综合性
考点2　等价转化法解决恒(能)成立问题——综合性
考点3　双参不等式恒(能)成立问题——综合性
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量，构造函数，把问题转化为求函数最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min；a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max.
当x在(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表：
等价转化法解决恒成立问题的关键是将不等式进行等价转化，构造新函数，通过求新函数单调性与最值解决问题．
已知函数f(x)＝eaxln x－x＋1(a∈R)．(2)若对任意x∈(0，1)，f(x)＜0恒成立，求实数a的取值范围．解：由(1)知当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，则f(x)＜f(1)＝0符合题意．当a＞0时，x∈(0，1)，则eax＞1，ln x＜0，所以eaxln x＜ln x.由(1)知f(x)＝ln x－x＋1＜f(1)＝0，所以eaxln x＜ln x＜x－1，故f(x)＜ln x－x＋1＜0成立，则a＞0符合题意．
一题N解·深化综合提“素养”
思路参考：构造函数h(x)＝x ln x－ax＋a＋e－2的方式，把不等式问题直接转化为函数的最值问题来研究．解：x2f(x)＋a≥2－e，即x ln x－ax＋a＋e－2≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．令h(x)＝x ln x－ax＋a＋e－2，则h′(x)＝ln x＋1－a.
令h′(x)＝0，得x＝ea-1.当x∈(0，ea-1)时，h′(x)<0；当x∈(ea-1，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)的最小值是h(ea-1)＝a＋e－2－ea-1.令t(a)＝a＋e－2－ea-1，则t′(a)＝1－ea-1.令t′(a)＝0，得a＝1.
令h′(a)＝0得到a＝3－e.当a∈[0，3－e)时，h′(a)>0，h(a)单调递增；当a∈(3－e，＋∞)时，h′(a)<0，h(a)单调递减．而h(0)＝ln (e－2)＋1>0，且h(3－e)＝e－2>0，但是因为h(2)＝0，所以0≤a≤2.
思路参考：把不等式通过等价变形后，使不等号的一边出现直线的方程h(x)＝a(x－1)＋(2－e)，再分析不等号另外一边的函数g(x)＝x ln x的单调性，就会发现二者相切时即为参数的临界值．解：通过变形原不等式等价于证明：x ln x≥a(x－1)＋(2－e)，x∈(0，＋∞)．若令g(x)＝x ln x和h(x)＝a(x－1)＋(2－e)．则只需证明函数g(x)的图象在直线h(x)的上方．
首先分析g(x)＝x ln x的图象．由解法3可知：当x∈(0，e-1)时，g(x)单调递减；当x∈(e-1，＋∞)时，g(x)单调递增，且g(x)min＝g(e-1)＝－e-1.其次分析h(x)＝a(x－1)＋(2－e)的图象．因为a≥0，所以h(x)表示过定点(1，2－e)的直线，且g(x)min＝－e-1>2－e.两个函数的图象大致如图(1)所示：
图(1)　　　　　　　
当t′(a)＝0时，a＝1.当a∈[0，1]时，t′(a)≥0，t(a)单调递增；当a∈[1，＋∞)时，t′(a)<0，t(a)单调递减．因为t(0)＝－e-1＋e－2>0且t(1)＝e－2>0，所以函数t(a)在区间[0，1]上无零点，在区间(1，＋∞)有且仅有一个零点a＝2.综上所述，a∈[0，2].
也就是说a＝0时，g(x)的图象在h(x)的图象上方．如图(3)：
所以当a越来越大时，两个图象会越来越接近．所以当g(x)和h(x)的图象相切时，a取得最大值，如图(4)．
1．本题考查应用导数研究不等式恒成立问题，基本解题方法是——参变分离、数形结合、最值分析等．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界点．2．基于课程标准，解答本题一般需要有良好的运算求解能力、逻辑思维能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题涉及函数、不等式、方程、导数等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论等思想方法，有一定的综合性，属于能力题．此类题在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养方面起到了积极的作用，是高考考查的一个热点．