2025-2026学年高二下学期人教A版期末模拟考试数学试卷（四)

这是一份2025-2026学年高二下学期人教A版期末模拟考试数学试卷（四)，共7页。试卷主要包含了　记为等比数列的前项和，　已知且，且，且，则，　下列求导运算不正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量等可能取值为，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 记为等比数列的前项和.若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，函数在内是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（ ）
A. B. 或 C. D.
8. 已知且，且，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列求导运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱()”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则（ ）
A. 准线与圆相切
B. 过点的直线与抛物线相交的弦长为5
C. 当点三点共线时，
D. 满足的点有且仅有2个
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
13. 的展开式中的系数为＿＿＿＿＿＿.
14. 如图，在三棱锥中，平面，记与面所成的角为，，，，.若为平面内一动点，满足，则最大值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.
（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；
（2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望；
（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求.
16. 已知为数列的前项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17. 如图，在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点(不包含端点)，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
18. 已知抛物线上一点到焦点的距离为2.
（1）求的方程；
（2）直线与交于两点，过分别作的切线，设的交点为.
（i）求证：为直角三角形；
（ii）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”.
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围；
（2）（i）证明：是上的“好函数”.
（ii）设，证明：.2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（四）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系O−xyz中，点M(2,3,−1)关于平面xOz对称的点的坐标是（ ）
A. (2,3,1) B. (2,−3,−1) C. (−2,3,−1) D. (2,−3,1)
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，点M(x,y,z)关于平面xOz对称的点的坐标为(x,−y,z)，即横坐标与竖坐标不变，纵坐标取相反数.
∵点M的坐标为(2,3,−1)，
∴点M关于平面xOz对称的点的坐标是(2,−3,−1).
【点拨】本题考查空间直角坐标系中的对称问题.熟记“关于哪个平面对称，哪个平面的坐标不变，另一个坐标取相反数”是解题关键.
2. 已知随机变量ξ等可能取值为1,2,3,⋯n(n∈N∗)，若P(ξb>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c
【答案】D
【解析】由ae15=15ea，两边取自然对数得lna+15=ln15+a，即lna−a=ln15−15.
同理可得lnb−b=ln14−14，lnc−c=ln13−13.
构造函数f(x)=lnx−x(x>0)，则f'(x)=1x−1=1−xx.
当01，所以φ'(t)>0，所以φ(t)在(1,+∞)上单调递增. ………………………… 11 分
所以φ(t)>φ（1）=ln1−0=0，即lnt>2(t−1)t+1成立.
故g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”. ………………………… 12 分
（ii） 证明：由（i）可知，当x1>x2>0时，lnx1−lnx2>2(x1−x2)x1+x2.
令x1=k+1，x2=k (k∈N∗)，则x1>x2>0，
所以ln(k+1)−lnk>2(k+1−k)k+1+k=22k+1. ………………………… 14 分
即12lnk+1k>12k+1，即lnk+1k>12k+1.
令k分别取1,2,3,⋯,n，可得：
ln21>13
ln32>15
ln43>17
⋯
lnn+1n>12n+1 ………………………… 16 分
将上述n个不等式相加，得：
ln21+ln32+ln43+⋯+lnn+1n>13+15+17+⋯+12n+1
即ln(21⋅32⋅43⋯n+1n)>13+15+17+⋯+12n+1.
化简得：lnn+1>13+15+17+⋯+12n+1. 证毕. ………………………… 17 分
【点拨】本题考查导数在证明不等式中的应用及新定义问题.第（2）问的证明过程体现了构造函数法和赋值累加法的经典应用，将抽象的函数性质转化为具体数列不等式是解决此类压轴题的核心素养.
双向细目表
1
2
3
4
5
B
C
A
C
D
6
7
8
9
10
A
C
D
ACD
ACD
11
12
13
14
15
BCD
8x+4y−3π=0
12
22
（1）328 （2）见解析 （3）Pn=37(18)n+47
16
17
18
19
（1）an=2n （2）Tn=2−n+22n
（1）证明见解析 （2）存在，A1N=3
（1）x2=4y （2）（i）证明见解析 （ii）最小值4，此时P(0,−1)
（1）[32,+∞) （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析
X
2
3
4
5
6
7
P
128
228
328
428
628
1228
题号
题型
分值
知识模块
具体考点要求
目标难度系数
备注
1
单选
5
空间向量
空间点关于坐标平面的对称点坐标
0.95
基础送分
2
单选
5
概率
离散型随机变量的概率计算
0.85
基础送分
3
单选
5
统计
散点图与相关系数的判断
0.85
基础送分
4
单选
5
计数原理
排列组合的实际应用（分组分配问题）
0.70
真情境应用
5
单选
5
数列
等比数列的性质与前n项和
0.65
基础巩固
6
单选
5
导数
导数与函数的单调性求参数范围
0.60
中档把关
7
单选
5
圆锥曲线
椭圆的几何性质与直线相交问题
0.35
综合应用
8
单选
5
导数
构造函数比较大小
0.25
小题压轴
9
多选
6
导数
导数的基本运算与法则
0.75
基础送分
10
多选
6
概率
相互独立事件、全概率与条件概率
0.60
情境建模
11
多选
6
圆锥曲线
抛物线与圆的综合、直线与抛物线相交
0.30
多选压轴
12
填空
5
导数
导数的几何意义求切线方程
0.80
基础送分
13
填空
5
二项式
二项式展开式的特定项系数
0.60
基础巩固
14
填空
5
立体几何
动点轨迹与空间距离的最值问题
0.20
填空压轴
15
解答
13
概率统计
（1）求特定事件概率(A)；（2）求分布列与期望(B)；（3）全概率公式与递推数列(B)
0.70
情境建模
16
解答
15
数列
（1）递推关系求通项(A)；（2）错位相减法求和(B)
0.60
重点考查
17
解答
15
立体几何
（1）面面垂直的证明(B)；（2）建系求二面角与存在性问题(B)
0.55
综合应用
18
解答
17
圆锥曲线
（1）求抛物线方程(B)；（2）切线交点与三角形面积最值探究(C)
0.35
探究压轴
19
解答
17
导数
（1）新定义下求参数范围(B)；（2）新定义证明与构造函数证数列不等式(C)
0.25
探究压轴