2025-2026学年高二下学期人教A版期末模拟考试数学试卷（一)

这是一份2025-2026学年高二下学期人教A版期末模拟考试数学试卷（一)，共7页。试卷主要包含了46 B，　已知 ，则 的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ，若 的展开式中，常数项等于240，则 （ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
4. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
5. 已知点 在曲线 上，点 在直线 上，则 两点距离最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
7. 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 为（ ）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
8. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 和骑自行车用时 均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ）
A.
B.
C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车
D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在三个不同零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 若 时，，则 的最大值为2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（ ）
A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为
B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为
C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为
D. 球第 次传出后恰好传给丙的概率为
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
13. 若把满足 的正整数组 称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为＿＿＿＿＿＿.
14. 已知定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时，，若将方程 实数解的个数记为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.
（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
（2）根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n=a+b+c+d.
16. 已知数列 中，，且数列 为等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，证明：．
17. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左，右顶点， 为椭圆的上顶点，且 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 作斜率不为0的直线交椭圆于 两点，直线 与 相交于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）求 的最大值.
18. 编号为 的小球随机放入编号为 的盒子中，记 表示 个盒子中空盒子的个数.
（1）当 时，求编号为1的盒子中有球的概率；
（2）求 并证明 关于 单调递增；
（3）求证：.
注：若随机变量 满足 ，则 .
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有且仅有两个零点 ，且 ，证明：.检测结果
患病
不患病
合计
阳性
阴性
合计
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（一）
数 学（解析卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={0,1,2,3,4}，B={x∣x≥1+3}，则 A∩B=（ ）
A. {x∣−1≤x≤3} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {3,4}
【答案】D
【解析】由 A={0,1,2,3,4}，B={x∣x≥1+3}，
又 1+3≈2.732，
∴ A∩B={3,4}.
【点拨】本题考查集合的交集运算，正确估算无理数的大小是解题的关键.
2. 复数 2i1+i 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意，复数 2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数对应的点 (1,1)，故选A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题.
3. 已知 a>0，若 x2+ax6 的展开式中，常数项等于240，则 a=（ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】由二项展开式的通项公式可得 Tr+1=C6r(x2)6−raxr=arC6rx12−3r，
令 12−3r=0，解得 r=4，
即常数项为 T5=a4C64=240，解得 a=2.
故选：B
【点拨】本题考查二项式定理中特定项的求解，掌握通项公式是解题的关键.
4. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
【答案】B
【解析】设“解出第一问”为事件 A， “解出第二问”为事件 B，
由题意可得： P(A)=3050=0.6,P(B∣A)=0.1,P(B∣A)=0.7，
则 P(A)=0.4,P(B∣A)=0.3，
∴ P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A)=0.6×0.3+0.4×0.1=0.22.
故选：B
【点拨】本题考查全概率公式的应用，正确识别事件并套用公式是解题的关键.
5. 已知点 P 在曲线 E:xy=1(x>0) 上，点 Q 在直线 2x+y=0 上，则 P,Q 两点距离最小值为（ ）
A. 105 B. 2105 C. 55 D. 255
【答案】B
【解析】 E:y=1x,x>0,y'=−1x2,x>0，设 Qx0,1x0，过 Q 的切线斜率为 −1x02，当且仅当切线与 2x+y=0 平行时，P,Q 两点距离最小值为两平行线的距离. 由 −1x02=−2，解得 x0=22，此时 Q22,2，最小距离为 d=225=2105，故选B.
【点拨】本题考查利用导数求曲线上一点到直线距离的最小值，利用平行线间的距离求解是常用技巧.
6. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
【答案】D
【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，
然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为 A61A51×(4+A42)=480；
若1和5区不同色，一共的涂法种数为 A61A51A41×(3+A32)=1080.
故一共的涂色总数为 480+1080=1560.
故选：D.
【点拨】本题考查排列组合在涂色问题中的应用，采用分步与分类相结合的方法是解题的关键.
7. 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S3=9,S6=36，则 S9 为（ ）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
【答案】B
【解析】∵等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，
∴ S3,S6−S3,S9−S6 也成等差数列，即 9,27,S9−36 成等差数列，
∴ 2×27=9+S9−36⇒S9=81，
故选：B.
【点拨】本题考查等差数列前 n 项和的性质，利用片段和成等差数列可快速求解.
8. 已知 a=20222024,b=20232023,c=20242022，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
A. b>c>a B. b>a>c C. a>c>b D. a>b>c
【答案】D
【解析】∵ lnalnb=2024ln20222023ln2023=ln20222023ln20232024，
构造函数 f(x)=lnxx+1(x≥e2)，f'(x)=(x+1)−xlnxx(x+1)2，
令 g(x)=(x+1)−xlnx，则 g'(x)=−lnx0⇒lnblnc=ln20232022ln20242023=ℎ（2023）ℎ（2024）>1⇒lnb>lnc⇒b>c，
故 a>b>c.
故选：D.
【点拨】本题考查利用导数构造函数比较大小，通过取对数并构造合适的函数是解决此类问题的通法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 X 和骑自行车用时 Y 均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ）
A. E(X)0，有 x>lna，
可得函数 f(x) 的减区间为 (−∞,lna)，增区间为 (lna,+∞) ……………… 4 分
（2） ①当 a=0 时，由 f(x)=ex>0，符合题意 …………………………………… 5 分
②当 a11，只需要证 5ax1+6ax2>11a，
只需要证：5ex1+6ex2>11(ex2−ex1)x2−x1 ……………………………………………… 11 分
只需要证：5ex1+6ex2ex2−ex1>11x2−x1，即 5+6ex2−x1ex2−x1−1>11x2−x1，
令 t=x2−x1(t>0)，上述不等式可化为 5+6etet−1>11t ………………………… 13 分
只需证：(6t−11)et+5t+11>0 …………………………………………………… 14 分
令 g(x)=(6x−11)ex+5x+11(x≥0)，有 g'(x)=(6x−5)ex+5 ………… 15 分
令 ℎ(x)=(6x−5)ex+5(x≥0)，有 ℎ'(x)=(6x+1)ex>0 ………………… 16 分
可得函数 ℎ(x) 单调递增，有 ℎ(x)≥ℎ（0）=0，
可得函数 g(x) 单调递增，有 g(x)≥g（0）=0（当且仅当 x=0 时取等号），
可得不等式 5+6etet−1>11t(t>0) 成立，由上知 5x1+6x2>11 ………………… 17 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点偏移问题，通过比值代换构造单变量函数是解决极值点偏移问题的通法.
1
2
3
4
5
D
A
B
B
B
6
7
8
9
10
D
B
D
ACD
BCD
11
12
13
14
15
ABD
3x−y−2=0
3364
2n
（1）列联表见解析，1819 （2）有关
16
17
18
19
（1）an=n(n+2) （2）证明见解析
（1）x24+y2=1 （2）（i）证明见解析 （ii）π6
（1）1927 （2）E(Xn)=n1−1nn，证明见解析 （3）证明见解析
（1）见解析 （2）[0,e] （3）证明见解析
检测结果
患病
不患病
合计
阳性
90
5
95
阴性
10
95
105
合计
100
100
200