突破05【不等式与不等式组】期末考点讲义（11大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学七年级下学期含答案

这是一份突破05【不等式与不等式组】期末考点讲义（11大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学七年级下学期含答案，共8页。
重点知识◆梳理
知识点01:不等式
【高频考点精讲】
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点02:一元一次不等式
【高频考点精讲】
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点03:一元一次不等式组
【高频考点精讲】
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
题型1：不等式的性质
【典例精讲】若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣2023＞b﹣2023B．﹣2023a＜﹣2023b
C．D．a+c＞b+c
解：由题意可得，
∵a＞b，
∴a﹣2023＞b﹣2023，﹣2023a＜﹣2023b，a+c＞b+c，
当c＜0时，，
故选：C．
【变式训练1-1】若a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．﹣a＞﹣bB．a+3＞b+2C．a2＞b2D．4﹣a＞4﹣b
解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a+3＞b+2，故本选项符合题意；
C．由a＞b，不能判断a2与b2的大小，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴4﹣a＜4﹣b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-2】若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．a+3＞b+3C．D．﹣3a＞﹣3b
解：A、由a＞b可以得到a﹣3＞b﹣3，原不等式不成立，不符合题意；
B、由a＞b可以得到a+3＞b+3，原不等式成立，符合题意；
C、由a＞b，可以得到，原不等式不成立，不符合题意；
D、由a＞b可以得到﹣3a＜﹣3b，原不等式不成立，不符合题意；
故选：B．
题型2：不等式的解集
【典例精讲】若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2B．m＜2C．m≥2D．m＞2
解：根据题意得：4m≤8，
∴m≤2．
故选：A．
【变式训练2-1】已知不等式组无解，则a的取值范围为 a≤2 ．
解：∵不等式组无解，
∴a﹣1≤1，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
【变式训练2-2】下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by＝3的解，则不等式组的解集为 ﹣3＜x＜0 ．
解：将x＝1，y＝1；x＝2，y＝﹣1代入ax+by＝3中得：
，
解得：，
∴原方程为2x+y＝3，
当y＝3时，m＝0；当x＝3时，n＝﹣3，
∴的解集为﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
题型3：在数轴上表示不等式的解集
【典例精讲】设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：设“〇”的质量为x，“□”的质量为y，
根据图可知，1+y＝4×1，
解得y＝3，
2x＞x+y，即2x＞3+x，
解得：x＞3，
则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图D．
故选：D．
【变式训练3-1】如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 ﹣3 ．
解：去括号，得
3x+1＞2x﹣2，
移项、合并同类项，得
x＞﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式训练3-2】解不等式﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：原不等式去分母得：2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x，
移项得：2x﹣9x﹣6x﹣2x≥﹣4+4+15，
合并同类项的：﹣15x≥15，
解得x≤﹣1．解集在数轴上表示为：
题型4：解一元一次不等式
【典例精讲】不等式2x+1＞5的解集是（ ）
A．x＜2B．x＜3C．x＞2D．x＞3
解：移项，得：2x＞5﹣1，
合并同类项，得：2x＞4，
系数化为1，得：x＞2，
故选：C．
【变式训练4-1】下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
不等式的解集为x≤5．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（ ）
A．﹣2x≥﹣10B．2x≤10C．﹣2x≥10D．﹣2x≤﹣10
解：A、﹣2x≥﹣10，解得x≤5，符合题意；
B、2x≤10，未知数系数为正数，不符合题意；
C、﹣2x≥10，解得x≤﹣5，不符合题意；
D、﹣2x≤﹣10，解得x≥5，不符合题意．
故选：A．
【变式训练4-2】解不等式：≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．
解：≥3（x﹣1）﹣6.5，
x+1≥6x﹣6﹣13，
∴x≤4．
数轴表示为：
题型5：一元一次不等式的整数解
【典例精讲】不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
解：5﹣3a≥2a﹣6，
移项得，﹣3a﹣2a≥﹣6﹣5，
合并同类项得，﹣5a≥﹣11，
系数化为1得，a≤，
故其非负整数解为0，1，2．
∴不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有3个．
故选：A．
【变式训练5-1】满足x＞2023的最小整数是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
解：∵x＞2023，
∴最小整数解是2024，
故选：D．
【变式训练5-2】若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 14 ．
解：不等式的解集是：x≤，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴4≤＜5，
∴a的取值范围是14≤a＜17．
∴整数a的最小值是14．
故答案为：14．
重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式
【典例精讲】某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（ ）
A．5x﹣2（25﹣x）≥90B．5x﹣2（25﹣x）≤90
C．5x﹣2（25﹣x）＞90D．5x﹣2（25﹣x）＜90
解：设小明答对x道题，
由题意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．
故选：C．
【变式训练6-1】某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（ ）
A．2x+（8﹣x）≥12B．2x+（8﹣x）≤12
C．2x﹣（8﹣x）≥12D．2x＞12
解：由题意，胜一场得2x分，负一场得（8﹣x）分，
则得不等式：2x+（8﹣x）≥12，
故答案为：A．
【变式训练6-2】一次生活常识竞赛共有50题，答对一题得2分，不答得0分，答错一题扣1分，小聪有4题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣5x＞80B．2（46﹣x）﹣x≥80
C．100﹣5x≥80D．2（50﹣x）﹣x≥80
解：小聪答错了x题，有4题没答，则答对有50﹣4﹣x＝（46﹣x）题，
由不等关系得：2（46﹣x）﹣x≥80，
故选：B．
题型7：一元一次不等式的应用
【典例精讲】下表为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打球6小时，经服务生计算后，告知他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：设共有x人，
包场计费方案费用为：90×6+10x＝540+10x（元），
人数计费方案费用为：54x+（6﹣3）×8x＝78x（元），
由题意得，540+10x＜78x，
解得：，
∵人数为正整数，
∴至少有8人，
故选：B．
【变式训练7-1】商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（ ）
A．9件B．10件C．11件D．12件
解：设可以购买该商品x件（x＞5），
根据题意得：30×5+30×0.8（x﹣5）≤270，
解得：x≤10，
即最多可以购买该商品10件，
故选：B．
【变式训练7-2】五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
，
解得，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是200元、300元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，
w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，
∵某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，
∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+50×6＝380，
当a＝4，b＝4时，w＝80×4+50×4＝520，
当a＝7，b＝2时，w＝80×7+50×2＝660，
由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．
题型8：解一元一次不等式组
【典例精讲】已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中上面结论正确的个数（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
解：解方程组得，得，
①把a＝1代入求得x＝3，y＝0，不满足方程x+y＝2﹣a成立，故①错误；
②当a＝﹣2时，x＝6，y＝0，x，y的值不是互为相反数，故②错误；
③当x≤1时，1﹣≤1，
解得a≥0，
∴0≤a≤1，
∴1≤1+≤，即1≤y≤，故③错误；
④将代入原方程组，求出不同的a值，则④错误．
故选：D．
【变式训练8-1】解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
解：解不等式7x+10≥4（x+1），得：x≥﹣2，
解不等式x﹣5＜，得：，
原不等式组的解集：，
解集数轴表示：
整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【变式训练8-2】（1）解不等式：5x+3＜3（2+x）；
（2）解不等式组．
解：（1）∵5x+3＜3（2+x），
∴5x+3＜6+3x，
5x﹣3x＜6﹣3，
2x＜3，
则x＜1.5；
（2）由1+x＞﹣2得：x＞﹣3，
由≤1得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
题型9：一元一次不等式组的整数解
【典例精讲】关于x的不等式组至少有3个整数解，关于y的方程2+my＝6﹣y的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ﹣10 ．
解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞，
∴该不等式组的解集是＜x≤3，
∵该不等式组至少有3个整数解，
∴＜1，
解得m＜﹣1；
解方程得y＝，
当m＝﹣2时，y＝＝﹣4，
当m＝﹣3时，y＝＝﹣2，
当m＝﹣4时，y＝＝﹣，
当m＝﹣5时，y＝＝﹣1，
当m＝﹣6时，y＝＝﹣，
…
∴所有满足条件的整数m的值为﹣2，﹣3，﹣5，
∴所有满足条件的整数m的值之和为：﹣2﹣3﹣5＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【变式训练9-1】解方程组或不等式（组）：
（1）解方程组
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（3）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
解：（1），
由①得，x＝2y+1③，
把③代入②得，3（2y+1）﹣5y＝8，
解得，y＝5，
把y＝5代入①得，x＝11，
则方程组的解为：；
（2），
2x+2＜3x，
解得，x＞2；
（3），
解①得，x≥﹣1，
解②得，x＜3，
则不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
整数解：﹣1，0.1，2．
【变式训练9-2】解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
解：（1），
3（2+x）≥2（2x﹣1）+6，
6+3x≥4x﹣2+6，
3x﹣4x≥﹣2﹣6+6，
﹣x≥﹣2，
x≤2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≤4，得：x≥1，
解不等式1+2x＞3（x﹣1），得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
所以其整数解为1、2、3．
题型10：由实际问题抽象出一元一次不等式组
【典例精讲】小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（ ）
A．50＜x＜80B．50≤x≤80C．50≤x＜80D．50＜x≤80
解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：C．
【变式训练10-1】将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A．8（x﹣1）＜6x+10＜4B．0＜6x+10＜8x
C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4D．8x＜6x+10＜4
解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得：
0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4，
故选：C．
【变式训练10-2】在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为 1≤x﹣7（）＜7 ．
解：设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，
根据题意得：1≤x﹣7（）＜7．
故答案为：1≤x﹣7（）＜7．
题型11：一元一次不等式组的应用
【典例精讲】某市出租车起步价是8元（3km及3km以内为起步价），以后每千米收费1.6元，不足1km按1km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A．5.5kmB．6.9kmC．7.5kmD．8.1km
解：设出租车行驶的路程为s千米，
由已知得：，
解得：5＜s≤6．
故选：B．
【变式训练11-1】对一实数x按如图所示程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次后停止，则x的取值范围是（ ）
A．x＜64B．x＞22C．22＜x≤64D．22＜x＜64
解：依题意，得：，
解得：22＜x≤64．
故选：C．
【变式训练11-2】为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．
根据题意得：
解得：
故书籍和实验器材分别为240套，120套．
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．
根据题意得：
解得：0≤a≤4
又∵a取整数，
∴a＝0，1，2，3，4
8﹣a＝8，7，6，5，4，
∴共有5种方案，如下：
方案一：甲0辆，乙8辆
方案二：甲1辆，乙7辆
方案三：甲2辆，乙6辆
方案四：甲3辆，乙5辆
方案五：甲4辆，乙4辆
（3）方案一所需运费：1000×0+8×900＝7200（元）
方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元）
方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）
方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）
方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）
故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．
实战演练
一、单选题
1．如果a>b，下列结论错误的是（ ）
A．a + 2 > b + 2B．a﹣2 > b﹣2C．2a > 2bD．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.∴ a + 2 > b + 2，故该选项正确，不符合题意；
B. a﹣2 > b﹣2，故该选项正确，不符合题意；
C. 2a > 2b ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】由不等号，，≥，≤，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：不等式有：①；②；④x≠5；⑤；
∴共有4个．
故选：C．
3．若不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A．m≤0B．m≤1C．m＜0D．m＜1
【答案】B
【分析】先解出第二个不等式的解集，再根据口诀“大大小小无解”求解即可
【详解】解不等式2x+1＞3，得：x＞1，
∵不等式组无解，
∴m≤1，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟知一元一次不等式组的解集口诀“大大小小无解”是解答的关键．
4．如图是某的两种计费方案的说明．若晓莉和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的至少有（ ）
A．6人B．7人C．8人D．9人
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设晓莉和朋友共有人，分别计算选择包厢和选择人数的费用，然后根据选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，列不等式求解．
【详解】解：设晓莉和朋友共有人．
若选择包厢计费方案需付费用为元；
若选择人数计费方案需付费用为（元）．
根据题意，得，
解得，
所以他们在同一间包厢里欢唱的至少有8人．
故选：C．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a+3>b+3，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【详解】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6．若a