突破04【二元一次方程组】期末考点讲义（8大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学七年级下学期含答案

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知识点01：二元一次方程组的相关概念
【高频考点精讲】
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.
知识点02：二元一次方程组的解法
【高频考点精讲】
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
知识点03：实际问题与二元一次方程组
【高频考点精讲】
【易错点剖析】
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
知识点04：三元一次方程组
【高频考点精讲】
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
等都是三元一次方程组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【易错点剖析】
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
【易错点剖析】
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
题型1：解二元一次方程
【典例精讲】把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．D．
解：方程2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故选：B．
【变式训练1-1】把方程x+y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣3
解：移项得，y＝3﹣x，
故选：B．
【变式训练1-2】已知二元一次方程3x+y＝1，用含有x的代数式表示y，得y＝ ﹣3x+1 ．
解：方程3x+y＝1，
解得：y＝﹣3x+1，
故答案为：﹣3x+1
题型2：由实际问题抽象出二元一次方程
【典例精讲】习题：甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵小红列的方程为，
∴小红是设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为（3.3﹣x﹣y）km，
∴从乙地到甲地上坡为（3.3﹣x﹣y）km，平路为ykm，则下坡为xkm，
∵从乙地到甲地需53min，
∴可以列方程为：，故C正确．
故选：C．
【变式训练2-1】“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为 4x+5y＝60 ．
解：依题意得：4x+5y＝60．
故答案为：4x+5y＝60．
【变式训练2-2】某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？

解：设篮球的原价为x元，排球的原价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：篮球的原价为270元，排球的原价为150元．
题型3：二元一次方程的应用
【典例精讲】把一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，所得的新两位数比原数大9，则符合条件的两位数的个数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：设这个两位数个位上的数为x，十位上的数为y，
根据题意得10x+y﹣（x+10y）＝9，
整理得y＝x﹣1，
∴或或或或或或或，
∴这个两位数是12或23或34或45或56或67或78或89，
符合条件的两位数的个数是8，
故选：B．
【变式训练3-1】某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（ ）元．
A．50B．49C．52D．51
解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，
由题意得：4x+6y＝40，
解得或或或；
当x＝10，y＝0，费用为：10×5＝50（元）；
当x＝7，y＝2时，费用为：5×7+8×2＝51（元）；
当x＝4，y＝4时，费用为：5×4+8×4＝52（元）；
当x＝1，y＝6时，费用为：5×1+8×6＝53（元）；
∵51＜52＜53，
∴某同学正好买40个面包时，他最少需要花50元，故A正确．
故选：A．
【变式训练3-2】把一根长为100m的电线剪成3m和1m长的两种规格的电线（每种规格的电线至少有一条）．若不造成浪费，有 33 种剪法．
解：截下来的符合条件的电线长度之和刚好等于总长100米时，不造成浪费，
设截成3米长的电线x根，1米长的y根，
由题意得，3x+y＝100，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解有33个，
故答案为：33．
题型4：二元一次方程组的解
【典例精讲】已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则2a﹣4b的平方根是 ±2 ．
解：把代入关于x，y的二元一次方程组得：
，
①+②得：a＝1，
把a＝1代入②得：，
∴，
∴2a﹣4b
＝
＝2+2
＝4，
∴2a﹣4b的平方根是±2，
故答案为：±2．
【变式训练4-1】若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．
解：将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组得，，
解得，，
将分别代入ax+y＝b和x+by＝a得，，
解得．
【变式训练4-2】阅读材料，回答下列问题：
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
（1）方程组的解x与y 是 （填写“是”或“不是”）具有“邻好关系”？
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
解：（1）∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1．
∴方程组的解x，y具有“邻好关系”，
故答案为：是；
（2）方程组，
②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m，
把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4，
∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m．
∵方程组的解x，y具有“邻好关系”，
∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1，
∴m＝6或m＝4．
题型5：由实际问题抽象出二元一次方程组
【典例精讲】列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
解：设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为，
故选：A．
【变式训练5-1】我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文
C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文
解：根据，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，
故选：A．
【变式训练5-2】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 ．
解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：，
故答案为：．
题型6：二元一次方程组的应用
【典例精讲】如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ ）
A．0.36m2B．0.9m2C．0.4m2D．2.4m2
解：设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m，依题意得，
，
解得，
∴每一块长方形墙砖的面积为：xy＝1.2×0.3＝0.36（m2）
答：每一块长方形墙砖的面积为0.36m2．
故选：A．
【变式训练6-1】在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ）
A．10m2B．12m2C．18m2D．28m2
解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m，
由题意得：，
解得：，
∴xy＝7×4＝28，
即一个小长方形花圃的面积为28m2，
故选：D．
【变式训练6-2】小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 56 cm．
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm，
由题意得，
解得，
则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm，
当n＝50时，其高度为：50+6＝56（cm）．
故答案为：56．
题型7：解三元一次方程组
【典例精讲】下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选D．
【变式训练7-1】已知方程组的解x和y的和等于6，k＝ ．
解：将x+y＝6代入到方程组中，
原方程组可化为，即，
解得k＝．
【变式训练7-2】解下列方程组：
（1）；（2）．
解：（1），
②代入①，可得x+2x﹣1＝2，
解得，x＝1，
将x＝1代入②，可得y＝1，
故方程组的解为．
（2），
①+②，得5x+2y＝16④，
②+③，得3x+4y＝18⑤，
④×2﹣⑤，得7x＝14，
解得x＝2．
把x＝2代入④，得10+2y＝16，
解得y＝3．
把x＝2，y＝3代入③，得2+3+z＝6，
解得z＝1．
所以原方程组的解为．
题型8：三元一次方程组的应用
【典例精讲】某商店对自己销售的三个品牌的奶粉进行了跟踪调查，两周内三个品牌奶粉a，b，c的销售量的比为4：3：1，现在该商店购进一批奶粉，共计2400箱，采购员是根据商店的销售情况购进的，则b品牌奶粉约购进了（ ）
A．900箱B．1600箱C．300箱D．2100箱
解：（箱），
故选：A．
【变式训练8-1】利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 85 cm．
解：设桌子的高度为x cm，长方体木块的长为a cm，宽为b cm，
则：，
①+②得：2x＝170，
解得：x＝85，
故答案为：85．
【变式训练8-2】磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共 3800 元．
解：设原味麻花的销售单价为x元，根据题意得，
麻辣味麻花销售单价为12（1+）＝1.2x（元），
巧克力麻花的销售单价为15+（x﹣10）＝x+5（元），
设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意得，
，
解得，，
∴今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为：（x﹣10）•2y+（1.2x﹣12）•3y+（x﹣10）•2y＝7.6xy﹣76y＝7.6×15×100﹣76×100＝3800．
故答案为：3800．
【变式训练8-3】阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
解：（1），
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
实战演练
一、单选题
1．是二元一次方程的解，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入二元一次方程中，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：把代入二元一次方程，
得：，
解得：m=−4．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，涉及一元一次方程，去括号，合并同类项等知识点．理解方程的解的定义是解题的关键．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
根据总价单价数量，结合题意，即可得关于、的二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：共买了一千个苦果和甜果，
，
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
，
可列方程组为．
故选：A．
3．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．5000B．4000C．5800D．4800
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，
由题意可得，
两式相加可得，
解得：，
故这对轮胎最多可以行驶公里，
故选：D．
4．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
5．已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+k的解，且，则k的值为（ ）
A．k＝±5B．k＝±5C．k＝±7D．k
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义代入方程，可得，即，代入得，得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：将和代入y＝x+k可得，
，即，
代入得，
，即，
解得，
故选B
【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义、求平方根，准确进行转换是解题的关键．
6．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是( )．
A．12岁B．18岁C．24岁D．30岁
【答案】C
【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
7．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【答案】B
【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，
由题意得：15x+10y=240，
∴，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或或，
∴购买方案有7种，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．已知关于的方程组下列结论正确的有（ ）
①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：，
∴当时，该方程组的解也是方程的解，
故①正确，
②解方程组得：，
∵，
则，
解得：，
故②正确，
∵解方程组得：，
∴不论取什么实数，的值始终不变．
故③正确，
故选：A．
9．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻吨，小麦吨，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，根据去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，列方程组即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选：．
10．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（ ）
①；②若，m、取整数，则或或或；
若对任意有理数x,y都成立（这里和均有意义），则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
解方程组，
得到：，
故①正确；
由①可知，
，
，
又m、取整数，
有或或或，
故②正确；
对任意有理数x,y都成立，
，
，
，
，
故正确．
正确的有三个．
故选：D ．
11．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．4000B．3750C．4250D．3250
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：，
两式相加，得，
解得：，
故选：B．
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴A正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
二、填空题
13．将方程变形为用含的代数式表示的形式为______．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程；移项后把y的系数化为1即可．
【详解】解：移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
14．若关于x，y的方程组的解是，则的值是___．
【答案】2
【分析】将方程组的解代入求出a，b的值，即可得出答案．
【详解】因为方程组的解是，
所以，
解得，
所以．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键．
15．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行千米，下坡路每小时行千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要分钟，求小明家到学校经过的平路是______千米．
【答案】0.8
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米，根据题意列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米，
依题意得，，
解得，
∴小明家到学校经过的平路是0.8千米，
故答案为：0.8．
16．若实数，，m满足关系式，则m的值为______
【答案】22
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可．
【详解】解：由题意可得，、，即，
∴，即①．
∴，
∴②，③，，
联立①②③得，，
得，，
将代入③，解得，
将，代入①得，，解得：．
故答案为：22．
三、解答题
17．解下列方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，原方程组可化为，进而根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：原方程组可化为
①+②，得，
解得：．
把代入②，得，
解得：，
原方程组的解为．
18．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求m的值及原方程组的解．
【答案】，
【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的值，先求出方程组的解，然后把解代入中，求出m的值，进而求出原方程组的解即可．
【详解】解：解方程组可得
又∵，
∴，
∴，
把代入，得，
综上：，原方程组的解为
19．某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人．该校360名住宿生恰好住满50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
【答案】大宿舍有30间，小宿舍有20间．
【分析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题目中的等量关系列出方程组，再利用消元法解方程组即可求解．
【详解】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题意得:
，
解得:，
答:大宿舍有30间，小宿舍有20间．
20．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100m、宽80m的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案．
【答案】见解析
【分析】先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可．
【详解】解：方案1：如图，
设AE=x，EB=y，则
，
解得：，即将原长方形的长分为80m和20m两部分；
方案2：如图，
设AE=a，EC=b，则
，
解得：，即将原长方形的宽分为64m和16m两部分．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是先设计出两种方案图，再根据题意，找出之间的数量关系列出二元一次方程组，此题难度一般．
21．据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：（米）；
第二圈长：（米）；
第三圈长：（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）
【答案】（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长152米，第八圈长453米；（2）小王的速度为米/秒，老师的速度为米/秒
【分析】（1）根据题意，第三圈半圆形弯道长与第一圈半圆形弯道的差即可解第一问，根据题中路程公式，可解得第八圈的路程；
（2）分析两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上第三圈半圆形弯道与第一圈半圆形弯道的差，小王的速度为米/秒，则老师的速度为米/秒，列关于x的一元一次方程，解方程即可解题．
【详解】解：（1）根据题意得，第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长：
（米）；
第八圈长：（米）
答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长152米，第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上第三圈半圆形弯道与第一圈半圆形弯道的差：
（米）
设小王的速度为米/秒，则老师的速度为米/秒
∴
∴
答：小王的速度为米/秒，老师的速度为米/秒．
【点睛】本题考查圆的周长计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题关键．
题型1.解二元一次方程
题型2.由实际问题抽象出二元一次方程
题型3.二元一次方程的应用
题型4.二元一次方程组的解
题型5.由实际问题抽象出二元一次方程组
题型6.二元一次方程组的应用
题型7.解三元一次方程组
题型8.三元一次方程组的应用
实战演练
A包装盒
B包装盒
每盒面包个数（个）
4
6
每盒价格（元）
5
8