突破03【平面直角坐标系】期末考点讲义（6大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学七年级下学期含答案

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重点知识◆梳理
知识点01：有序数对
【高频考点精讲】
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
知识点02：平面直角坐标系
【高频考点精讲】
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
【易错点剖析】
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
知识点03：坐标方法的简单应用
【高频考点精讲】
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
【易错点剖析】
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
【易错点剖析】
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
题型1：点的坐标
【典例精讲】在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【变式训练1-1】如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为 （﹣1，1），点B的坐标为（1，﹣1），则点C的坐标是 ．
【变式训练1-2】若点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且点A在第二象限，则点A的坐标为 ．
题型2：规律型：点的坐标
【典例精讲】如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的横坐标为（ ）
A．﹣1010B．1010C．1012D．﹣1012
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2023的坐标是（ ）
A．（673，1）B．（674，1）C．（673，﹣1）D．（674，﹣1）
【变式训练2-2】如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点P0（﹣3，4）运动到点P1（﹣2，2），第2次运动到点P2（﹣1，1），第3次运动到点P3（0，﹣1），…按这样的规律，第2024次运动到点P2024的坐标是 ．
题型3：坐标确定位置
【典例精讲】“歼﹣20”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼﹣20”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为（﹣1，﹣1），点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣4，4）C．（﹣4，3）D．（﹣3，5）
【变式训练3-1】如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系中，已知黑棋（甲）的坐标为（1，1），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标为 ．
【变式训练3-2】如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知E楼、A楼的坐标分别为（﹣2，2），（2，3）．完成以下问题：
（1）请根据题意在图上建立平面直角坐标系；
（2）写出图中校门、B楼、C楼、D楼的坐标；
（3）在图中用点M表示实验楼（0，﹣3）的位置．
题型4：坐标与图形性质
【典例精讲】在平面直角坐标系中，点M（4，1）到点N（﹣1，1）的距离是 ．
【变式训练4-1】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2），我们重新定义这两点的“距离”．
①当|y1﹣y2|≤|x1﹣x2|时，|x1﹣x2|为点P1与点P2的“远距离”D远，即D远（P1，P2）＝|x1﹣x2|；当|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|时，以|y1﹣y2|为点P1与点P2的“远距离”D远，即D远（P1，P2）＝|y1﹣y2|．
②点P1与点P2的“总距离”D总为|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的和，即D总（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知A（3，2）则D远（A，O）＝ ，D总（A，O）＝ ；
（2）若点B（x，5﹣x）在第一象限，且D远（B，O）＝3．求点B的坐标．
（3）若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且D总（C，O）＝4，已知点M（4，0），N（0，﹣2），点C向左平移2x个单位得到点E，且S△EMN＝10，求点C的坐标．
【变式训练4-2】如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动
（1）求点B的坐标．
（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
题型5：两点间的距离公式
【典例精讲】在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，﹣2），B（1，b），线段AB平行于x轴，且AB＝3，则a+b＝ ．
【变式训练5-1】对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ．
【变式训练5-2】国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子 （x1，y1） 走到格子 （x2，y2） 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1） 与 P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点 R1（x1，y1） 与 P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知A（0，2），
①若B的坐标为（3，1），则点A与B的“切比雪夫距离”为 ；
②若C为x轴上的动点，那么点A与 C“切比雪夫距离”的最小值为 ；
（2）已知，N（1，﹣1），设点M与N的“切比雪夫距离”为d，若a≥0，求d（用含a的式子表示）．
题型6：坐标与图形变化-平移
【典例精讲】（2023秋•贵池区期末）将点P（m+2，2m﹣3）向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ．
【变式训练6-1】（2023秋•游仙区期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2022的坐标为 ．
【变式训练6-2】（2023春•河北区期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．

实战演练
一、选择题
1．如图，小芳利用平面直角坐标系画出了毕节市周围部分景点示意图，可是她忘记了在图中标出原点、轴及轴，若已知九洞天风景区的坐标为，织金洞的坐标为2,−4，则阿西里西韭菜坪风景区的坐标为（ ）
A．3,1B．1,3C．−3,−1D．−1,−3
2．把点向下平移1个单位，所得点的坐标是（ ）
A．B．−2,6C．D．
3．如图所示，正方形的边长为4，顶点A的坐标是，平行于x轴，则顶点C的坐标是（ ）
A．3,1B．C．3,5D．
4．如图，A，B的坐标分别为（4，1），（1，2），若将线段AB平移至，，分别在x轴和y轴上，则三角形的面积为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
5．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到△，若上一点平移后对应点为P1，则点P1的坐标为（ ）

A．B．C．D．
6．如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点2,2，“炮”位于点，写出“兵”所在位置的坐标（ ）

A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则点所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第四象限C．第一象限D．第三象限
8．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用−2,0表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A．B．C．3,2D．
9．已知点，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点A为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点B在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．，那么一定在（ ）象限．
A．第一B．第二C．第三D．第四
11．三角形ABC在经过某次平移后，顶点A(﹣1，m+2)的对应点为A(2，m﹣3)，若此三角形内任意一点P(a，b)经过此次平移后对应点P1(c，d)．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2
12．如图，在平面直角坐标系中，，且为轴上一动点．连接，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，则下列结论：①；②；③若的面积为6，则点的坐标为或；④若点不在直线上，面积为面积为，四边形面积为，则．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
13．已知点在轴上，此时点的坐标为___．
14．已知点在第二象限，且到轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点的坐标为___________．
15．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，使CD∥y轴，且，点D的坐标为_____________________．
16．已知点P的坐标，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_____________．
三、解答题
17．如下图，三角形在平面直角坐标系中的位置如下图所示，已知，，三点的横、纵坐标均为整数．
(1)直接写出下列各点的坐标：_____________，_____________，_____________；
(2)平移三角形到三角形，使得点落在点上，请画出平移后的三角形．
18．下图所示的是某台阶的一部分，每级台阶的高相同，宽也相同．如果点的坐标为，点的坐标为．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点，，，的坐标；
(2)如果该台阶有10级，求该台阶的高度．
19．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点位于第四象限，且点到轴的距离等于2，求点的坐标．
20．如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离．
(1)图中___________，___________），___________，___________）；
(2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置；
(3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？
21．如下图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别为64和16．
(1)求出点，，的坐标；
(2)求三角形的面积．
22．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．
(1)求点的“短距”；
(2)点的“短距”为3，则的值为_________；
(3)若，两点为“等距点”，求的值．
23．如下图，在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点，．若是第一象限内的一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒2cm的速度沿直线向左移动，同时点从原点出发，以每秒1cm的速度沿轴向右移动．
(1)经过几秒后，？
(2)若某一时刻以，，，为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标．
24．如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)直接写出点的坐标；
(2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动．当直线将长方形的周长分为3:5两部分时，求点的运动时间；
(3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点．若三角形的面积为15，求点的坐标．题型1.点的坐标
题型2.规律型：点的坐标
题型3.坐标确定位置
题型4.坐标与图形性质
题型5.两点间的距离公式
题型6.坐标与图形性质
实战演练