专题05 不等式与不等式组-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024）(原卷版+解析版)

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题型一：不等式的性质（常考）
1．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知是整数，并且，则的相反数是（ ）
A．B．4C．D．
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，．若，则与的关系为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（ ）
A．207B．208C．209D．239
8．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ．
9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知实数，满足，当取最大值时，则的值是 ．
10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，．
(1)若，且，求的值；
(2)若，求证：．
题型二：求一元一次不等式（组）的解集（易错）
11．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)； (2)．
12．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题
(1)解不等式；
(2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
14．（24-25七年级下·全国·期末）【探究归纳】
解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
15．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组）
(1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
(2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围．
题型三：求一元一次不等式（组）的整数解（重点）
17．（22-23七年级下·山东临沂·期末）不等式的负整数解有 ．
18．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）不等式的正整数解为 ．
19．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ．
20．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是 ．
21．（23-24七年级下·广西百色·期末）解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
22．（23-24七年级下·全国·期末）求不等式组的最大整数解．
23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
24．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
题型四：由一元一次不等式组的解集求参数（难点）
25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
28．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
29．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）若不等式组的解集为，则
30．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ．
31．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
32．（22-23七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ．
33．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ．
34．（23-24七年级下·四川乐山·期末）若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”．
(1)不等式组的解集中点是______；
(2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围．
35．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号）
(2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围．
36．（22-23七年级下·四川南充·期末）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．

解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
37．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
38．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型五：不等式组和方程组结合的问题（重点）
39．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10B．8C．6D．4
40．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
41．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
42．（23-24七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
43．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
45．（23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ．
(1)当x、y互为相反数时， ；
(2)已知，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．
46．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
48．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为
49．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
50．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
(1)二元一次方程组是______系方程组．
(2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
(3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
52．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”．
(1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ；
(2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”；
(3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
53．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
题型六：用一元一次不等式（组）解决实际问题（难点）
54．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）李庄古镇随着宜宾文旅的火爆“出圈”，已成为宜宾一大文旅IP．在今年“五一”假期5天时间里，古镇共迎来万游客．颇具古镇特色的“李庄三白”（李庄白肉，李庄白酒，李庄白糕）备受游客青睐，其中具有不同口味的李庄白糕备受美食爱好者喜爱．某特色专卖店将不同口味的李庄白糕包装成A，B两种礼品盒售卖．已知3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元．
(1)求一件A类礼品盒和一件B类礼品盒的成本价分别是多少元？
(2)已知A类礼品盒的销售单价为70元，B类礼品盒的销售单价为50元．该特色店计划在五一期间，每天包装A、B两类礼品盒共100件，要使每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，该特色店有几种包装方案？那种方案的总利润最高？总利润量高是多少钱？
55．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴，某超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，经调查甲种葡萄进价每千克元，售价每千克元，乙种葡萄进价每千克元，售价每千克元．
(1)该超市购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元；购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元，求的值；
(2)超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种葡萄千克（为正整数），求有几种购买方案？
56．（23-24七年级下·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．
(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？
(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．
(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？
57．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
58．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元．
(1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
59．（23-24七年级下·吉林松原·期末）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如下表：
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)每个款足球的利润为______元；每个款足球的利润为______元．（用含、的式子表示）
(2)求和的值．
(3)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？
60．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表：
（说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变）
(1)求A，B两种规格香肠的销售单价；
(2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？
(3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
61．（22-23七年级下·云南红河·期末）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校进一步做好疫情防控工作．为方便师生测体温，某校计划购买A、B两种额温枪．经调研得知：购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元．
(1)求每个A型额温枪和B型额温枪各多少元；
(2)若该学校准备购买A、B两种型号的额温枪共50个；要求总费用不超过12800元，则对购买A型号的额温枪在数量上有什么要求？说明理由．
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种型号的额温枪，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型额温枪按原价收费，B型额温枪不优惠；在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价收费；则学校到哪家商店购买额温枪花费少？
62．（23-24七年级下·宁夏·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．
63．（23-24七年级下·全国·期末）班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别．
(1)此次购买的笔和纸各多少件?
(2)若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件?
(3)若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案?
64．（22-23七年级下·福建莆田·期末）莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元．
(1)若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券．
(2)若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？
(3)若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？
65．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
(2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
(3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
题型七：用一元一次不等式（组）解决几何问题（难点）
66．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．

(1)已知点，点为轴上的一个动点．
①若，求点的坐标；
②的最小值为______；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值．
(2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围．
67．（23-24七年级下·贵州安顺·期末）根据以下素材，探索完成任务．
68．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．

(1)判断下面各组中两点是否相关：
①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）；
②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）；
(2)如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，．
①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关；
②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围．
69．（22-23七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）

(1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
70．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
参赛学生
答对题数
答错或不答题数
得分
甲
17
3
79
乙
11
9
37
类型
进价（元/个）
售价（元/个）
A款
120
B款
90
销售时段
销售数量
销售收入
A
B
第一天
10袋
6袋
570元
第二天
5袋
8袋
510元
商品名
单价（元）
数量（件）
金额（元）
笔
20
墨
15
210
纸
24
砚
60
2
合计
43
922
如何设计礼品盒制作方案
素材1
七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2
现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1
初探方案
探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完．
若，
（1）完成以下填表；
型号裁法
（裁法一）
（裁法二）
合计
大长方形硬纸板（张）
大长方形硬纸板（张）
A型号（张数）
0
B型号（张数）
0
_________
_________
（2）最多能做多少个礼品盒？
任务2
反思方案
探究二：
若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3
优化方案
探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：
首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____．