突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版数学七年级下学期含答案

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知识点01：相交线
【高频考点精讲】
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
【易错点剖析】
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【易错点剖析】
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
【易错点剖析】
垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点02：平行线
【高频考点精讲】
1．平行线判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
【易错点剖析】
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点03：命题及平移
【高频考点精讲】
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
题型1：相交线
【典例精讲】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（ ）
A．0个或1个B．1个或2个
C．2个或3个D．0个或1个或2个或3个
题型2：对顶角、邻补角
【典例精讲】如图，下面的说法正确的是（ ）
A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O
C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线
题型3：垂线
【典例精讲】如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 °．
题型4：垂线段最短
【典例精讲】如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（ ）
A．直线最短B．两点之间线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
题型5：点到直线的距离
【典例精讲】如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（ ）
A．5mB．4mC．3mD．2m
题型6：同位角、内错角、同旁内角
【典例精讲】以下说法中：
（1）同角或等角的余角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型7：平行线
【典例精讲】（多选）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，下列说法正确的是（ ）
A．∠MAC＝72°B．∠EBD＝130°
C．CD的长为24寸D．车轮周长为48π寸
题型8：平行公理及推论
【典例精讲】下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
题型9：平行线的判定
【典例精讲】如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；
（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH．
题型10：平行线的性质
【典例精讲】如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 °．
题型11：平行线的判定与性质
【典例精讲】综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系；
（3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系： ．
题型12：生活中的平移现象
【典例精讲】春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 ．
题型13：平移的性质
【典例精讲】如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
题型14：作图-平移变换
【典例精讲】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：
①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD，
其中正确的有 ．
实战演练
一、单选题
1．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法中，错误的有（ ）
①两点确定一条直线；
②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余；
④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列四种说法中，正确说法的个数是（ ）
①若，则； ②是三次二项式
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④一个有理数不是整数就是分数
A．4B．3C．2D．1
4．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
5．如图，下列说法正确的是（ ）

A．与是同位角B．与是同旁内角
C．与是内错角D．与是同位角
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是内错角B．与是同位角
C．与是同旁内角D．与不是同旁内角
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．直角都相等B．若，则C．相等的角是对顶角D．同位角相等
8．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为6，则△BCE的面积为（ ）
A．5B．6C．10D．3
9．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
12．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在四边形中，．若，则的度数为________．
14．学习了平行线后，小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法，他的作图步骤如图所示．老师说小强的作图方法是正确的，其中能够说明两条直线平行的依据是___________________．
15．如图，将直角三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置．若，，平移距离为6，则阴影部分面积为_________．
16．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把三角形先向右平移格，再向下平移格，就能与三角形拼合成一个四边形，那么的值为_________．
三、解答题
17．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
18．三角形ABC在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形．
19．填写推理理由，将过程补充完整：
如图，已知于点D，于点F，AD平分．
求证：．
证明：，（已知），
（垂直的定义），
________（________________），
________（________________），
________（________________）．
又平分（已知），
= ，
（等量代换）．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，，点O为垂足，OF平分，且，求的度数．
21．已知直线，OF平分且，，求的度数．
22．已知的两边与的两边分别平行，即，，试探究：
(1)如图①，与的关系是________；
(2)如图②，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
23．如图，，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在，的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分．
(1)若，求的大小；
(2)若，求证：MP平分．
24．【问题背景】在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知，，且，则的度数为________；
（2）如图②，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得，，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与
∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
题型1.相交线
题型2.对顶角、邻补角
题型3.垂线
题型4.垂线段最短
题型5.点到直线的距离
题型6.同位角、内错角、同旁内角
题型7.平行线
题型8.平行公理及推论
题型9.平行线的判定
题型10.平行线的性质
题型11.平行线的判定与性质
题型12.生活中的平移现象
题型13.平移的性质
题型14.作图-平移变换
实战演练