清单01 相交线与平行线-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲+讲义（人教版2024）

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清单01 邻补角
1. 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角 .
特别提醒： 互为邻补角的“两要素”(1)有一条公共边；(2)它们的另一边互为反向延长线 .
2. 邻补角与补角的区别与联系
特别解读
①邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角.
②邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系. “邻”指 的是位置相邻，即两个角有一条公共边， “补”指的是两个角的数量关系是互补.
清单02 对顶角
1.定义： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角 .
特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .
2. 性质： 对顶角相等 .
特别提醒： 相等的两个角不一定是对顶角 .
3. 对顶角与邻补角的区别与联系
清单03 垂直与垂线
1. 垂直与垂线
特别解读
① 垂直是相交的特殊情况：夹角为 90° .②垂线是直线 .
③两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直 .
2. 垂直定义的双重性：垂直的定义既是判定也是性质，如图 7.1-10 所示 .
∠ BOC=90°判定 AB ⊥ CD
垂线的画法：经过一点（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：
特别说明： 当点在直线上时，画法相同 .
4. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
特别提醒
①“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性 .
②性质中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以
在直线外 .
清单04 垂线段及点到直线的距离
1. 垂线段及点到直线的距离
特别解读
①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段 .
②点到直线的距离是两点间距离的特殊情况：直线外一点到垂足这两点间的距离 .
2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 . 简单说成： 垂线段最短 .
特别说明：与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据 .
清单05 同位角、内错角、同旁内角
1.同位角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 .
特别提醒：(1)同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；(2)在“三线八角”中，有 4 对同位角 .
位置特征：
特别解读
①“同”表 示“相 同”， “位” 表 示“位置” “同位角”可理 . 解为“相同位置的两个角”，即如果一个角在左上方，那么另一个角也应在左上方.
②同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线(截线)，另一对边不共线(被截线).
2.内错角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中， 两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 .
特别提醒
(1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系；
(2)在“三线八角”中，有 2 对内错角 .
位置特征
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 .
位置特征
特别提醒
①同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系.
②在“三线八角”中，有2对同旁内角.
清单06 平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
特别提醒： 平行线定义的“三要素”(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 .
清单07 平行线的基本事实及其推论
1. 平行线的基本事实： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
特别提醒： 平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线 .
2. 平行线基本事实的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
简单说成： 平行于同一条直线的两条直线平行 .
表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
清单08 平行线的判定
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
清单09 平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3.平行线的判定与性质的区别与联系：平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行) .
清单10 定义、命题、定理
1.定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定
义 .
2.命题
3. 命题与定义的区别与联系
4. 定理： 经过推理证实的真命题叫作定理 .
特别解读：定 义、基 本 事 实 (公理)、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实 (公理)是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.
清单11 平移
1.定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
特别提醒：平移图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离.
2. 平移的“两要素”：(1)平移的方向；(2)平移的距离 .
3. 平移中的对应元素如图7.4-1，把三角形ABC沿直线EF的方向平移得到三角形A′B′C′.
对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′；
对应线段： AB 与 A′ B′， AC 与 A′ C′， BC 与 B′ C′；
对应角： ∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′ .
4.平移的性质
5.平移作图的步骤
(1)定：确定平移方向和平移距离；
(2)找：找到构成原图形的关键点；
(3) 移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点；
(4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形；
(5)写：写出结论
【考点题型一】对顶角与邻补角（）
【例1】（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图，直线，相交于点O，于点O，平分，．

(1)写出的邻补角和对顶角；
(2)求的度数．
【答案】(1)的邻补角是和，对顶角是
(2)
【知识点】利用邻补角互补求角度、邻补角的定义理解、对顶角的定义、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，数形结合．
（1）根据邻补角和对顶角定义进行解答即可；
（2）根据垂线定义得出，根据，得出，根据角平分线定义求出，最后根据邻补角求出结果即可．
【详解】（1）解：的邻补角是和，对顶角是；
（2）解：，
，
∵，
，
平分，
，
．
【变式1-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）下列各图形中，与是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角．根据对顶角的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、与不满足对顶角的定义，故与不是对顶角，本选项不符合题意；
B、与没有公共顶点，故与不是对顶角，本选项不符合题意；
C、与满足对顶角的定义，故与是对顶角，本选项符合题意；
D、与不满足对顶角的定义，故与不是对顶角，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）如图，直线和直线相交于点，，则 ．
【答案】/度
【知识点】对顶角相等
【分析】此题考查了对顶角的性质．根据对顶角相等进行解答即可．
【详解】解：∵，与是对顶角，
∴，
故答案为：
【变式1-3】（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图， 直线与相交于点O，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用对顶角、邻补角的定义是解题关键．
【详解】解：∵直线与相交于点O，
∴，
∴，
故选A
【变式1-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，直线与相交于点O，平分： ．
(1)求的度数
(2)求的度数
(3)求的度数
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角及角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
（1）根据互为邻补角的两个角的和等于求出；
（2）根据对顶角性质求得，再根据角平分线的定义解答即可；
（3）根据求解即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2），
，
平分，
；
（3），，
【考点题型二】垂直与垂线（）
【例2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，依据见解析
【知识点】画垂线、垂线段最短
【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合．
（1）利用网格的特点作图即可；
（2）利用网格的特点作图即可；
（3）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），
判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【变式2-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】画垂线
【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．
根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解．
【详解】解：过直线外一点画的垂线，
只有D选项符合题意，
故选：D ．
【变式2-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知在直线l上有三个点A、B、C，点P在直线l外．若，则点P到直线l的距离（ ）
A．等于B．不小于
C．不大于D．无法确定
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：∵，，且点到直线，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离不大于；
故选C．
【变式2-3】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【知识点】垂线段最短
【分析】依据垂线段最短，即可得到当时，最短．根据面积法求得垂线段的长即可．
本题主要考查了垂线段最短的性质，问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
【详解】解：如图所示，当时，最短，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【变式2-4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ．
【答案】或
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键；
根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可．
【详解】解：当、在直线同侧时，如图：
，，
；
当、在直线异侧时，如图：
，，
，
故答案为：或
【变式2-5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作
(1)如图 1， ，求 的度数；
(2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角．
【答案】(1)
(2)，，，
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的余角、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识．
（1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
（2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）知，
∵，
∴和互余．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，，，
则和互余，和互余，和互余，
综上：与互余的角有，，，．
【变式2-6】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点为直线上一点，，，平分，．
(1)求的度数；
(2)试说明：平分；
(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)（2）中的结论依然成立，理由见解答过程
【知识点】利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；
（1）先根据邻补角定义求出，再根据可得的度数；
（2）先根据及角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论；
（3）根据邻补角定义得，根据得，再根据角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：点为直线上一点，，
，
，
，
；
（2），平分，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
平分；
（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：
点为直线上一点，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分．
【变式2-7】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，直线相交于点O，平分平分， ，H是射线上的一点．
(1)过点H画直线的垂线，垂足为F；
(2)在（1）问的基础上求的度数（用含的式子表示）；
(3)探究的大小和的大小是否有关？若有，请写出的大小和的大小关系；若没有，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)无关，理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查了画垂线，互余与互补，角平分线的意义等知识．
（1）按照画垂线的方法进行即可；
（2）由对顶角相等及互余关系即可求解；
（3）由角平分线的意义及互补关系得，即可得的大小和的大小无关．
【详解】（1）解：如图，垂线即为所画；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：的大小和的大小无关．
理由如下：
∵平分平分，
∴，
∴
，
∵，
∴，
即的大小和的大小无关．
【考点题型三】同位角、内错角、同旁内角（）
【例3】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（ ）

A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是同位角D．和是内错角
【答案】A
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．根据同位角，同旁内角以及内错角的定义进行判断．
【详解】解：A．和是内错角，选项说法错误，符合题意；
B．和是同旁内角，正确，不符合题意；
C．和是同位角，正确，不符合题意；
D．和是内错角，正确，不符合题意．
故选A．
【变式3-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（ ）
A．B．或
C．或D．或或
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键．
根据同位角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者．
故选：B．
【变式3-2】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．
【详解】解：A.、与是内错角，符合题意；
B、与不是内错角，不符合题意；
C、与不是内错角，不符合题意；
D、与不是内错角，不符合题意；
故选：A．
【变式3-3】（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图，在所标识的角中，属于同旁内角的是（ ）

A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握同位角、同旁内角、内错角的定义是解题的关键．根据同旁内角定义，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、和是邻补角，不是同旁内角，故此选项不合题意；
B、和是邻补角，不是同旁内角，故此选项不合题意；
C、和是同位角，不是同旁内角，故此选项不合题意；
D、和是同旁内角，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式3-4】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ．
【答案】/度
【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了三线八角，对顶角、邻补角性质，解题的关键在于找准的内错角，再根据对顶角、邻补角性质求解，即可解题．
【详解】解：，
的内错角为，
，
，
与其内错角的角度之和为，
故答案为：．
【考点题型四】平行线的概念（）
【例4】（23-24七年级下·浙江·期中）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图．
(1)过点M画的平行线；
(2)将平移，使的顶点在小方格的顶点上，并且点M落在的内部．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的判定，熟练掌握平移的性质、平行线的判定是解答本题的关键．
（1）利用网格，将向右平移，使得点C与点M重合，点A 与点N重合，根据平移性质即可得出的平行线．
（2）结合平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）如图，即为所求．
【变式4-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是
【答案】平行
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：平行．
【变式4-2】（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”）
【答案】平行
【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行．
【详解】解：∵， ，，…
∴，，…，
∴，
∵，
∴，
故答案为∶平行．
【变式4-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图：
(1)过点F作直线的垂线段，垂足为E；
(2)过点W作直线的平行线，交线段于点M．
(3)过点A作线段的垂线，垂足为N；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键．
（1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可；
（2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可；
（3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可；
【详解】（1）
（2）
（3）
【考点题型五】平行线的判定（）
【例5】（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知，平分交于点，平分交于点，，问：与有怎样的位置关系？试说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理．根据平分，平分，得出，，再根据，得出，即可证出．
【详解】平行．证明如下：
∵平分，平分（已知），
∴，（角平分线定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【变式5-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图方法，根据平行线的尺规作图方法作图即可．根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题．
【详解】连接，过点P利用尺规作出，直线即为所作．
【变式5-2】（23-24七年级下·吉林·期中）如图，于点，，求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明．
【详解】证明：，
，
，
，
．
【变式5-3】（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【考点题型六】平行线的性质（）
【例6】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在四边形中，射线平分交的延长线于点，且，．试猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推出，根据角平分线的定义可得，所以，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】解：平行．
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．灵活运用平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角和平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．由对顶角相等可知，再根据平行同位角相等，即可求出的度数．
【详解】解：如图，，
，
，
，
故选：B．
【变式6-2】（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，，拐角，则另一个拐角 ．
【答案】/度
【分析】本题考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
则，
∴，
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，，直线分别交，于、两点，且平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的性质是解题关键．
（1）根据平行线的性质得出，代入即可得答案；
（2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）可知：，
解：∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）看图填空：
已知：如图，为上的点，为上的点，，，求证：．
证明：
（已知），
，（ ）
（等量代换）
∴______________________
（ ）
又（已知）
（ ）
【答案】对顶角相等；；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行是解题关键．根据平行线的性质即可得答案．
【详解】证明：
（已知），
，（对顶角相等）
（等量代换）
∴，
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（内错角相等，两直线平行）
【考点题型七】根据平行线的性质求角的度数（）
【例7】（23-24七年级下·江西吉安·期中）如图，为的平分线，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据角平分线的定义得到，再根据两直线平行，同位角相等即可．
【详解】解：，
，
为的平分线，
，
．
【变式7-1】（23-24七年级下·河北廊坊·期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于M，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可．
【详解】解：延长交于M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式7-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，根据平分，得到，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式7-3】（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：，
设，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
即；
如图，当时，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上，的大小为或．
故答案为：或．
【变式7-4】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）

【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
，
，
，分别平分和，
，，
，，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
【变式7-5】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，直线，，点，分别在，上，与所夹的锐角为，的平分线与的平分线相交于点．当线段向右平移时，的度数等于 ．（用的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，合理作出辅助线是解题的关键．
过作，得到，利用角平分线得到，，再通过平行线的性质转化角即可．
【详解】解：过作，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式7-6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-7】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ．
【答案】/130度
【分析】本题考查了长方形的性质和平行线的性质，主要考查学生的推理能力和计算能力；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可．
【详解】解： 过作，交于，
四边形是长方形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式7-8】（23-24七年级下·北京·期中）的两边分别平行于的两边，且的度数比的度数的2倍少，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查平行线的性质，分两种情况，画出图形，根据平行线的性质结合的度数比的度数的2倍少，列出方程进行求解即可．
【详解】解：如图①，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴；
如图②，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠A的度数是或．
故答案为：或．
【变式7-9】（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，已知，，
(1)试说明；
(2)若，平分，试求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法和性质．
（1）根据平行线的判定方法得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，最后得出结果即可；
（2）先求出，再求出，根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式7-10】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒．假定两栋楼的墙面是平行的，即，且．
(1)填空： ；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，．
【答案】(1)60；
(2)A灯转动30秒，两灯的光束互相平行；
(3)转动时间为90秒，理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用补角的定义，即可求解；
（2）根据两光束平行，利用平行线的性质列方程，求解即可；
（3），即两光束垂直，再结合平行线的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
设A灯转动时间为t秒，由两光束平行，得内错角相等，可知，
解得：，
∴A灯转动30秒，两灯的光束互相平行；
（3）解：转动时间为90秒，理由：
∵，即两光束垂直，
∴，
解得：，
∴转动时间为90秒时，．
【考点题型八】根据平行线判定与性质求角度（）
【例8】（23-24七年级下·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证；
（2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴的度数为．
【变式8-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，已知，， 则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度，熟练平行线的判定与性质是解题的关键．
先根据内错角相等证明，再由得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式8-2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，四边形，，，是四边形内部两点，连结，，，，且，，在同一条直线上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，如图，过作，证明，可得，再结论平行线的判定与性质可得答案.
【详解】解：如图，过作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选A
【变式8-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式8-4】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯的示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，过点作，则

∴，，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式8-5】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）请将下列证明过程中的理由或步骤补充完整：
如图，， ， ，求 的度数．
解：∵（已知），
（ ），
又（已知），
（等量代换），
∴ （ ） ，
（两直线平行，同旁内角互补）
（），
．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．由平行线的性质得到，则，利用平行线的判定可证明，利用两直线平行，同旁内角互补得到，进而可求解．
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
．
【变式8-6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．
由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出，根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【变式8-7】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究
如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分．
图1 图2
(1)①写出所有等于的角：______．
②试猜想与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）①由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得答案；②延长交于H，由平行线的性质可得，则；
（2）设交于K，由角平分线的定义得到，设，则，，由平行线的性质得到，则，进而得到，可得，再求出，得到，由平行线的性质得到，则．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
如图所示，延长交于H，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设交于K，
∵平分，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考点题型九】根据平行线判定与性质证明（）
【例9】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，，且，试说明．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据，得出，则，根据已知等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式9-1】（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，平分，且．
(1)求证：；
(2)H是直线上一动点（不与点D重合），平分．写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)或，见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合角平分线的定义以及，则，故同旁内角互补，两直线平行，即可作答．
（2）先得出再进行分类讨论，即点H在点D的左边时或点H在点D的右边时，以及运用数形结合思想，且结合角的和差运算，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵平分．
∴
如图1，点H在点D的左边时，

∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，点H在点D的右边时，，
，
∴
∵，
∴，
∴
综上所述，或
【变式9-2】（23-24七年级下·北京·期中）完成下面的证明．
已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，（ ）．
∴．
∴ （ ）．
∴．（两直线平行，同位角相等）．
．（ ）．
又∵，
∴ ．
∴平分．
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
【分析】本题考查了垂直、平行线的判定与性质、角平分线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，（垂直的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴．（两直线平行，同位角相等）．
．（两直线平行，内错角相等）．
又∵，
∴．
∴平分．
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；．
【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知：如图，中，D，G为上的两点（不与B，C重合），连接，过点D作交于点E，过点G作交于点F．
(1)依题意补全图形；
(2)请你判断和的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键．
（1）根据平行线的定义解答即可；
（2）由根据平行线的性质得到，由可得，则，最后根据等量代换即可解答．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）解：，
证明如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【变式9-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接．
[探索发现]
（1）当时，求证：；
[拓展探究]
（2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解
（2），理由见详解
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）如图所示，过点作，可得，由平行线的性质得到，根据，即可求解；
（2）设，则，根据平行线的性质，角的和差关系得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式9-5】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，，点C在上方，连接．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；
（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；
（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
【考点题型十】 定义、命题、定理（）
【例10】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可．
【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意；
B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意；
C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意，
D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意；
故选A．
【变式10-1】（23-24七年级下·北京·期中）下列命题中，不正确的是（ ）
A．两条直线相交形成的对顶角一定相等
B．两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角的概念、平行线的性质、平行公理、垂直的定义判断．
【详解】解：A、两条直线相交形成的对顶角一定相等，命题正确，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，命题正确，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题不正确，符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，命题正确，不符合题意；
故选：C．
【变式10-2】（23-24七年级下·山东威海·期中）把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式： ．
【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等
【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，把原命题的条件放在如果的后面，把结论放在那么的后面，据此求解即可．
【详解】解：把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 ．
【变式10-3】（23-24七年级下·北京·期中）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果．
【详解】解：当时，，，
“如果，那么”是假命题，
故答案为：1（答案不唯一）．
【变式10-4】（23-24七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ．
【答案】 ； ．
【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键．
【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以，
当，时，有，但，
∴，是假命题的反例，
故答案为：；．
【考点题型十一】平移（）
【例11】（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示）
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
【答案】(1)，
(2)
(3)元
【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键．
（1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决；
（2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可；
（3）代入数据求值即可．
【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形，
则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形，
则，
由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，
由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
则，
故答案为：，；
（2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形，
则；
（3）当，时，
，
因为铺草地平均每平方米需要花费元，
所以铺设这块草地一共需要花费（元），
答：铺设这块草地一共需要花费元．
【变式11-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
利用平移的性质即可得出答案．
【详解】
解：观察各选项中的图案可以发现，在A、B、C、D中，通过平移可以得到的是B，
故选：B．
【变式11-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（ ）
A．298元B．288元C．287元D．297元
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少元．
故选B．
【变式11-3】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与的面积相等；②，且；③若，，那么三角形向右平移了，其中正确的有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握平移的性质是解此题的关键．
【详解】解：由平移的性质可得：，，且，，故②错误；
∴，即四边形的面积与的面积相等，故①正确；
若，，那么，即三角形向右平移了，故③错误，
综上所述，正确的有①，共个，
故选：B．
【变式11-4】（22-23七年级下·浙江温州·期中）小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干长为，则树的高度长为( )．

A．19B．17C．15D．11
【答案】B
【分析】根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知：，
由题意得：，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式11-5】（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，把沿着射线方向平移得到，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．根据平移的性质得到，据此求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故答案为：6．
【变式11-6】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，，
(1)在图中画出向右平移5个单位，向下平移2个单位后的．
(2)写出点，，的坐标．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】题目主要考查图形的平移，坐标与图形及利用网格求三角形面积，熟练掌握平移作图是解题关键．
（1）根据平移的作图方法作出图形即可；
（2）根据（1）中图形即可得出点的坐标；
（3）利用网格求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）由图得：；
（3）由图得：的面积为：．
【变式11-7】（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：（1）求图1中草地的面积．
深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．

【答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．
（1）结合图形，利用面积公式求解即可；
（2）结合图形，利用平移的性质求解；
（3）结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)；
故答案为：；
（2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：(平方米)；
（3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线(图中虚线)长为：(米)．
故答案为：．
【变式11-8】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
(1)补全；
(2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
(3)找（要求各顶点在格点上，P不与点C重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)6
【分析】本题考查图形与平移，掌握平移的性质，是解题的关键．
（1）根据点的位置，确定平移规则，进而补全；
（2）根据三角形的中线平分三角形的面积，得到的中点即为点，连接即可；
（3）根据平行线的距离处处相等，以及同底等高的三角形面积相等，确定出点的位置即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，满足这样条件的点P共有6个；
故答案为：6．
【变式11-9】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点．当点时，解答下列问题．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________．
(2)简要说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的．
(3)若点是由点通过（2）中的平移得到的，求a，b的值．
(4)直接写出三角形的面积．
【答案】(1)；
(2)先向左平移3个单位长度，又向下平移3个单位长度或先向下平移3个单位长度，又向左平移3个单位长度
(3)；
(4)
【分析】本题考查已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积、解一元一次方程，利用数形结合的思想确定出平移方式是解题关键．
（1）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式，进而确定点坐标；
（2）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式；
（3）由题意可列出关于一元一次方程，求解即可；
（4）根据平移的性质得，利用网格求解即可．
【详解】（1）解：∵点C与点F分别是对应点，且，
∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到
∵点，
∴，．
（2）∵点C与点F分别是对应点，且，
∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到
（3）∵点是由点通过（2）中的平移得到的，
∴，
解得，．
（4）由平移得，．
邻补角
补角
区别
与角的大小、位置均有关
只与角的大小有关，与位置无关
一个角的邻补角有且仅有两个
一个角的补角可以有无数多个
联系
1. 都是两个角之间的关系，以“互为”体现；2. 两个角的和都是 180°
邻补角
对顶角
区 别
数量关系
邻补角互补
对顶角相等
位置关系
由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成邻补角有一条公共边
对顶角必须由两条直线相交形成对顶角没有公共边
相同点
①都是两个角之间的关系 , 要成对出现；
②对顶角与邻补角都有公共顶点
垂直
如图 7.1-9，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，当∠ BOC=90°（或形成的四个角中的任意一个角等于 90°）时，直 线 AB 与 直 线 CD 互 相 垂 直， 记 作AB ⊥ CD，读作“AB 垂直于 CD”
垂线
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足，如图 7.1-9， AB ⊥ CD，垂足为O
步骤
内容
图示
一落
让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合
二移
沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点
三画
沿此直角边画直线，并标明垂足和垂直符号
名称
概念
符号语言
图示
区别
垂线段
过直线外一点向已知直线作垂线这个点与垂足之间的线段，叫作垂线段
线段 CO 叫作点 C 到直线AB 的垂线段
是 一 条 线段， 属 于几何图形
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
CO 的长度就是点 C 到直线 AB 的距离
是 线 段 的长 度， 是一个数量
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
同位角
在截线同侧，在两条被截直线同一侧
形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
内错角
在 截 线 两 侧， 在两 条 被 截 直 线之间
形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）
角的名称
位置特征
基本图形
图形的结构特征
同旁内角
在 截 线 同 侧， 在两 条 被 截 直 线 之间
形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）
定义
可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句叫作命题
如：对顶角相等
组成
命题由题设（条件）和结论两部分组成 . 题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
命题“对顶角相等”中，题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”
结构形式
一个命题常写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论
“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”
分类
真命题：被判断为正确（或真）的命题
如：对顶角相等
假命题：被判断为错误（或假）的命题
如：相等的角是对顶角
定义
命题
区别
性质
描述一个数学对象的本质特征
对事情作出判断，可以是真或假
功能
旨在阐明某个术语的意义，使其易于理解和应用
提供信息，表达观点或关系
形式
通常采用“X 叫作 Y”的结构，用以说明 X 的属性或类型
可 以 是 任 何 完 整 的 句子，通常涉及主语和谓语
联系
定义可以是命题，但命题不一定是定义，命题的准确性往往依赖于相关概念的定义
性质
图示
1. 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同
2. 连接各组对应点的线段平行( 或在同一条直线上 ) 且相等
AA′∥BB′∥CC′； AA′ =BB′ =CC′
3. 平移前后两个图形中的对应线段平行 ( 或在同一条直线上 )且相等，对应角相等 .
AB ∥ A′ B′， AC ∥ A′ C′， BC ∥ B′ C′， AB=A′ B′， AC=A′ C′， BC= B′ C′，∠ BAC= ∠ B′ A′ C′， ∠ ABC= ∠ A′ B′ C′， ∠ ACB= ∠ A′ C′ B′