专题01 相交线与平行线 4大高频考点试题-2026年七年级下册数学（人教版）期末试题分类汇编（含答案）

这是一份专题01 相交线与平行线 4大高频考点试题-2026年七年级下册数学（人教版）期末试题分类汇编（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点01相交线
考点02平行线
考点03定义、命题、定理
考点04 平移
地 城
考点01
相交线
一、单选题
1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为．已知一个角为，则其邻补角，即可作答．
【详解】解：依题意，邻补角，
故选：C．
2．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，由垂直得，由对顶角的性质得，即得，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（24-25七年级下·全国·期末）下列四个图形中，与互为内错角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了内错角，能根据内错角的概念正确判断是解题关键．
根据内错角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A．与不是内错角，故此选项不符合题意；
B．与不是内错角，故此选项不符合题意；
C．与是内错角，故此选项符合题意；
D．与不是内错角，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意；
B、和是内错角，故此选项不符合题意；
C、和是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键．
根据垂直定义求出，进而利用对顶角相等求出的度数，再根据角的差得到答案．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
故选：B．
6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等．
根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离．
8．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解．
【详解】解：过点C作于点，

∵，，
∴，即，
∴，
∵D为边上一动点，，
∴的最小值为的长4，
∴正方形的面积的最小值为
故选：．
二、填空题
9．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，有一个破损的三角形零件（部分），可利用图中的工具直接测得夹角的度数，依据的数学原理是_______．
【答案】对顶角相等
【分析】本题主要考查了对顶角相等，根据“对顶角相等”可知，图中要测量的角的度数就是图中量角器所示的度数．
【详解】解：利用图中的工具直接测得夹角的度数，依据的数学原理是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
10．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，直线与交于点，于点，若，则______．
【答案】/度
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，根据垂直得到，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
11．（24-25七年级下·广东汕头·期末）2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是_______．
【答案】垂线段最短
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短．
【详解】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段．
根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段．
故答案为：垂线段最短
12．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，点B，C在直线l上，且，的面积．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为___________．
【答案】
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短知∶当时，的长度最小，从而由三角形的面积公式可求出，即三角形的高；
【详解】解：根据垂线段最短知，当时，的长度最小，
此时△ABC的面积为，
即，可得，
解得：，
即的最小值为
故答案为：．
13．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是______．
【答案】互相垂直
【分析】本题考查垂直的定义，正确求得是解题的关键．根据题意可得，进而求得，即可得出答案．
【详解】解：∵A、B、C三点在一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即与的位置关系是垂直关系，
故答案为：互相垂直．
14．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知，若，则的度数是___________°．
【答案】35
【分析】此题考查垂直的定义，余角的计算，根据垂直的定义得到，由此得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：35．
15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，先根据，得出，，再求出，然后根据角平分线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，直线，，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是同角的余角相等，邻补角的性质；
（1）由可得结论；
（2）利用邻补角的性质求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴.
17．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空：
(1)过点画直线，与的另一边相交于点；
(2)过点画的垂线段，垂足为点；
(3)过点画直线，交于点D；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
(5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
(5)＜，垂线段最短
【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据要求作出图形即可；
（4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题；
（5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可．
【详解】（1）解：直线如图所示：
（2）解：的垂线段如图所示：
（3）解：直线如图所示：
（4）点到直线的距离是线段的长度
（5）解：点A到直线的距离是线段的长度，因为垂线段最短，所以，
故线段和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短．
18．（24-25七年级下·云南丽江·期末）点是直线上一点，射线平分．
(1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数；
(2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设，则，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可；
（2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：设，则．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
设，，，
∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
地 城
考点02
平行线
一、单选题
1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意；
B、，由同旁内角互补，两直线平行，能得到，不符合题意；
C、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意；
D、，由内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意；
故选：D．
2．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（ ）
A．因为，所以（内错角相等，两直线平行）
B．因为，所以（两直线平行，同旁内角互补）
C．因为，所以（两直线平行，内错角相等）
D．因为，所以（同位角相等，两直线平行）
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”以及平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，“两直线平行，内错角相等”，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，因为，所以（内错角相等，两直线平行），故A错误；
B选项，因为，所以（两直线平行，同旁内角互补），故B错误；
C选项，因为，所以（两直线平行，内错角相等），故C错误；
D选项，因为，所以（同位角相等，两直线平行），故D正确．
故选：D ．
3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据，得出，再利用平角等于求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；
C、由，不能判定，故C不符合题意；
D、由不能判定，故D不符合题意；
故选：B．
5．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）下列四个说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，如果有两个角互补，那么这两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，对顶角定义，角的计算，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，故原说法错误，不符合题意；
C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，不符合题意；
D．两直线相交形成的四个角相等，则每个角都是，这两条直线互相垂直，故原说法正确，符合题意，
故选：D．
6．（24-25七年级下·广东·期末）如图，的一边为平面镜，在上有一点E，从点E射出一束光线经上一点D反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵直尺的对边平行，
∴，
∵，
∴；
故选：B ．
8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可．
【详解】解：如图：作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，点、分别在、上，，，平分，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用平行线的性质可得，，再根据已知得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：C．
二、填空题
11．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，则的度数为___________．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________．
【答案】/65度
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点作直线，直线将分成两个角、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点作直线，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副直角三角板作如下摆放，，当时，则_____．
【答案】/45度
【分析】此题考查了三角板的角度计算，平行线的性质．由题意可得，根据平行线的性质可得，由即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，若，则的度数为_______°．
【答案】56
【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记两直线平行同位角相等；先求出的同位角的度数，再求的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：56．
三、解答题
15．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）已知：如图，于点，于点，且．
求证：．
下面是推理过程，请你填空或填写理由．
证明：于点，于点（______），
（______），
（______），
（______），
（已知），
（等量代换），
，
______（两直线平行，同位角相等）．
____________（等量代换）．
【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ；
【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
【详解】证明：于点，于点（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
16．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先判定，再根据两直线平行，同旁内角互补计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点．
(1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题：
①，则___________；
②用等式表示、、之间的数量关系，并证明．
(2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质；
（1）①直接根据平行线的性质求解即可；
②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论；
（2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论．
【详解】（1）解∶①如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为∶45；
②；
理由：过M作，则，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：；
理由：过M作，则，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴．
18．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知点，，，都在的边上，，且．
(1)试说明；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)说明见详解
(2)
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线的判定与性质、邻补角定义求角度、角平分线定义等知识，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由得到同旁内角互补，再由即可确定，从而由内错角相等两直线平行即可得到；
（2）由得到同位角相等，再由邻补角定义求出，进而根据角平分线定义求出，结合（1）中结论即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
则，
平分，
，
由（1）知，．
19．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
20．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P．
(1)如图2，若和，则 ；
(2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程）
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
（1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可；
（2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解；
（3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求．
【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
过点P作（点H在点P的左侧），如图，
∵，
∴，
∴，，
∴,
∵，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
由（2）中的结论可知，，
同理可得，
∴．
21．（24-25七年级下·河北·期末）综合与实践
【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，．
【操作发现】
（1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由；
【深入探究】
（2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题．
请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决；
【拓展运用】
（3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线；
（1）根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可；
（2）根据平行公理可证，再根据平行线的性质证明即可；
（3）过点O作，则，根据平行线的性质可证，再根据平分线的定义可证，再根据平行线的性质即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，，
，
；
（3）解：，理由如下：
过点O作，
，
，
，，
，
，
，分别平分，，
，
，
，
．
22．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分．
当时，与的位置关系是 ；
当时，与的位置关系是 ；
当时，请判断与的位置关系，并说明理由；
【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系．
【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析；
探究：，理由见解析；
拓展：或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系，
对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得；
对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案；
对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案.
【详解】当时，.
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
当时，.
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
故答案为：平行；平行；
当时，.
理由如下：
∵平分，平分，
∴,
∴，
∴；
【探究】，
理由如下：
过E向右作,
∵,
∴,
∴.
【拓展】,或
如图1，当点Q在射线上运动时，.
理由：过点P作,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），.
理由：过点P作,
∵,
∴,
∴.
∵
180°，
即
综上可知，,或
地 城
考点03
定义、命题、定理
一、单选题
1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角B．同旁内角互补
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可．
【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意；
B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）下列语句中是真命题的是（ ）
A．若，那么
B．数轴上的所有点都表示有理数
C．3的平方根是
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直
【答案】A
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．
利用不等式的性质、数轴的定义、平方根的定义及垂直的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、若，那么，正确，是真命题，符合题意；
B、数轴上的点都表示实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、3的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A
3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则以及假命题的概念判断．
【详解】解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意；
B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
故选：A．
4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答．
【详解】解：当时，，而，
说明命题“如果，那么”是假命题，
故选：B．
5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（ ）
A．若，求的值B．两直线相交有几个交点
C．画一个角等于已知角D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可．
【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意；
D、符合命题的定义，本选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“_____ ”．
【答案】
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、假命题的概念解答．
【详解】解：当时，，
说明命题“若，则”是假命题，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是________命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可．
【详解】解：根据不等式的性质得：“如果，当时，则”，
故原命题为假命题，
故答案为：假．
8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行．
其中假命题有______（填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了平行公理、垂直的性质、平行线的性质，熟练掌握这些知识的准确内容及适用条件是解题的关键．依次分析每个命题，根据所学的平行公理、垂直的性质、平行线的性质等知识判断真假．
【详解】解： ∵ 必须是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，
∴ ①是假命题．
∵ 在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没限定同一平面，
∴ ②是假命题．
∵ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，若两条直线不平行，内错角不相等，
∴ ③是假命题．
∵ 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，
∴ ④是真命题．
故答案为：①②③．
三、解答题
9．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分．
(1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接）
(2)证明（1）中的结论．
【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义．
（1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题；
（2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论．
【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么；
即①②④③，
同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①，
故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）；
（2）解：①②④③是真命题，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
．
①②③④是真命题，理由如下：
，
，
∴，
平分，
，
∵，
∴，
∴平分．
①③④②是真命题，理由如下：
，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
平分，
，
∵，
∴，
∴平分．
②③④①是真命题，理由如下：
平分，平分，
，，
，
∴
，
∴．
10．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)选择你写的一个真命题写出证明过程．
【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么
(2)见解析
【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可；
（2）根据平行线的性质或判定进行证明即可.
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果，，那么；
②如果，，那么；
③如果，，那么 ；
（2）解：如果，，那么，
理由如下：∵，
∴，，
∵，
∴．
如果，，那么；
理由如下：∵，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么 ；
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．
(1)条件： ，结论： ；（填序号）
(2)证明：
【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，①
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可；
（2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②）
（2）证明：选条件：①②，结论：③
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线平行）．
选条件：①③，结论：②
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
选条件：②③，结论：①
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
12．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题．
请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
．
地 城
考点04
平移
一、单选题
1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（ ）
A．电梯的升降B．火车在平直的铁轨上行驶
C．飞机起飞前在跑道上滑行D．卫星绕地球飞行
【答案】D
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．
【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意；
、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意；
、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意；
、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意；
故选：．
2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）在下列图案中，不能用平移得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查图形的平移变换．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案．
【详解】解：A、两个图形的阴影部分不同，不能用平移得到，本选项符合题意；
B、可由一个或2个简单图形平移得到，本选项不符合题意；
C、可由一个或2个简单图形平移得到，本选项不符合题意；
D、可由上下两个图形向右平移得到，本选项不符合题意；
故选：A．
3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）2025年电影《哪吒2》参考三星堆文化设计的结界兽憨态可掬，它不仅能在物理层面抵御外敌，更象征人心团结，是保护与力量的融合．右图为结界兽的武器部分图案，下面四个图案中，能够通过如图平移得到的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平移变换，将一个图形整体沿着某个方向移动一定的距离，称为图形的平移，平移只是改变图形的位置，不改变大小与形状．据此即可解答．
【详解】
解：能够通过平移得到的是．
故选：C．
4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）下列说法中，在平移过程中：①对应线段一定相等；②对应线段一定平行；③周长不变；④面积不变，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平移的性质逐个进行判断即可．本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．
【详解】解：由平移的性质可知，
①在平移过程中，对应线段一定相等，因此①正确；
②在平移过程中，对应线段不一定平行，有时候对应线段在同一条直线上，因此②错误；
③在平移过程中，周长不变，因此③正确；
④在平移过程中，面积不变，因此④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C.
5．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得．
【详解】解：，
，
即平移的距离为2，
故选：A．
6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在三角形中，，把三角形向下平移至三角形后，，，则下列结论：①；②；③；④三角形与三角形的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得①②说法正确，由，，，可得③说法错误，依据平移的性质，平行四边形的判定与性质，可判断④⑤说法正确．
【详解】解：三角形向下平移至三角形，
，，
故①②说法正确；
，，
，
故③说法错误；
与的周长和为，
又三角形向下平移至三角形，
四边形是平行四边形，，
，
，
与的周长和为，
故④说法正确；
三角形向下平移至三角形，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，即，
，
故⑤说法不正确；
综上，正确结论的个数为个，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在一块长为21米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的横、纵相交的小路，则这块草地青草覆盖的面积为________ 平方米．
【答案】180
【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积．利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案．
【详解】解：由图象可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）．
故答案为：180．
8．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，把三角形沿直线向右平移，得三角形（点在边上）．连接，若四边形的周长为，则两块阴影部分的周长之和为______．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得，，再由四边形的周长为可得，进而即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：沿直线向右平移，得到，
，，
，，
∵四边形的周长为，
，
，
，
∴两块阴影部分的周长之和，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，将以每秒的速度沿所在直线向右平移，所得图形对应为，设平移时间为t，若要使成立，则t的值为_______．
【答案】3或9
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由平移可得，
当点在线段上时，则：，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，则：，
∵
∴，
∴；
综上：或．
故答案为：3或9．
10．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为________．
【答案】/18米
【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键．
利用平移的性质解答即可．
【详解】解：，
即这块红地毯的长至少为．
故答案为：
11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将直角三角形沿射线的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为_____．
【答案】5
【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
先根据平移的性质得出，再由，，即可由求解．
【详解】解：连接，
直角三角形沿边的方向平移到的位置，
，
∴，
，，
∴，
即点与点的距离为5．
故答案为：5．
12．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长度是______．
【答案】
【分析】根据平移的性质得，再利用得到，然后解方程即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【详解】解：三角形是由三角形通过平移得到，
，
，
，
故答案为：
13．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）如图，点，，将线段平移后得到线段，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形的面积为48，则D点坐标为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及三角形的面积，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据题意，得出，，再结合四边形的面积为48求出点D的纵坐标即可．
【详解】解：由平移可知，
，，
则四边形是平行四边形．
又因为四边形的面积为48，
所以点D到x轴的距离为：，
所以点D的坐标为，
故答案为：．
14．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________．
【答案】 4 8
【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键．
由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到．
【详解】解：∵，，
∴线段平移了4个单位长度．
连接，
∵平移4个单位长度得到，
∴，．
过点作轴于点N，则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4；8．
三、解答题
15．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，图中“小鱼”的各个顶点都在格点上．
(1)把“小鱼”先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，请画出两次平移后的图形；
(2)分别写出点A，B，C平移后的对应点，，的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)，，．
【分析】本题考查平移作图，写出坐标系中点的坐标，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求作图．
（1）将关键点先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，顺次连接即可；
（2）结合坐标系，可得到点，，的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，轴右侧的阴影部分即为所求．
（2）解：结合坐标系可得，，．
16．（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接．
(1)与的位置关系为 ．
(2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由．
(3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键．
（1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可；
（2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可．
（3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可．
【详解】（1）解:由平移的性质可得，
故答案为；
（2），理由如下：
根据平移的性质可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，过点A作，交于点D，
根据平移性质可知，
∴，
∴，，
∴
即．
17．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证；
（2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
证明：根据平移的性质可知，，
如图，过点作，
则，
，，
，
；
（2）解：如图，当在的外部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当在的内部时，
∵，，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，与之间的数量关系为或．
18．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中三角形ABC的顶点坐标分别为，，．将三角形ABC进行平移得到三角形，平移后点B的对应点是点．
(1)请在图中画出三角形；
(2)点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点的坐标为______．依据是______；
(3)轴上有一点Q，连接，．若三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)；垂线段最短
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）结合垂线段最短可知，当轴时，线段长度最小，进而可得答案．
（3）设点Q的坐标为，根据用矩形求三角形面积方法列方程，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或