新高考数学二轮复习专项训练22 证明、探究性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．
二、探究性问题
存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·四川凉山·三模）已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题
3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，点，为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点使得
B．的最大值为5
C．若直线与椭圆交于两点（均不同于点），则直线和直线的斜率之积为
D．△内切圆面积的最大值为
4．（23-24高二上·湖北·期末）设抛物线E：的焦点为F，从点F发出的光线经过E上的点(不同于E的顶点)反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（ ）
A．m平分B．
C．与的面积之比为定值D．点D在定直线上
三、填空题
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 .
6．（21-22高三上·北京·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆，、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，的面积的最大值为，的面积的最小值为，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
7．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线 的离心率为2，实轴长为2.
(1)求双曲线C 的标准方程
(2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.
8．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为.
(1)当点坐标为时，求；
(2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值；
(3)证明：的面积为定值.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·北京·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质.若从椭圆上任意一点（异于两点）向长轴引垂线，垂足为，记，则（ ）
A．方程表示的椭圆的焦点落在轴上
B．
C．的值与点在椭圆上的位置有关
D．M越来越小，椭圆越来越扁
二、多选题
3．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
三、填空题
4．（23-24高三上·山东聊城·期末）椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为12；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆：上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4.
其中正确的序号有 .
四、解答题
5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程；
(2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
6．（24-25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，Px0,y0为椭圆上的动点，过动点Px0,y0作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.
(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.
(2)求动点的轨迹的方程.
(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.
7．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，．
(1)求A点的坐标；
(2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值．
8．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆经过点A−2,0与点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且.
①证明：直线过定点；
②求的面积的最大值.
【能力提升训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.
(1)已知猫眼曲线满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
(2)在曲线中，若，，，斜率为的直线l不经过坐标原点，且l与椭圆相交所得弦的中点为M，与椭圆相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON的斜率之比为定值；
(3)在（2）的条件下，若直线l的斜率，且l与椭圆相切，与椭圆相交于A，B两点，Q为椭圆上异于A，B的任意一点，求面积的最大值.
2．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等，
(1)求椭圆C的标准方程
(2)点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）如图，已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过且交于两点（在第一象限）.
(1)求的坐标与的长；
(2)设，如下构造：直线分别与交于，证明：
（ⅰ）的纵坐标是等差数列；
（ⅱ）.
4．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，且，证明：直线与圆相切．
5．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径，
(1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？
(2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.
（i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想.
（ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围.
6．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关.
7．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值.
8．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列bn：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)证明：数列bn是等比数列；
(3)设顶点到直线MN的最大距离为d，证明.
9．（24-25高二上·江苏·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为.
(1)若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；
(2)若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率.
10．（24-25高三上·广西·阶段练习）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
(3)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点.
(1)求以为直径圆的方程；
(2)以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由.
12．（2024·广东·三模）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.