新高考数学二轮复习立体几何专题练习立体几何中的探索性问题问题（2份，原卷版+解析版）

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一．立体几何中的探索性问题
(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．
二．立体几何中的探索性问题答题思路
母题呈现
【典例】（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【例2】（2022·北京工业大学附属中学三模）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.
（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；
（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
方法总结
利用空间向量巧解探索性问题的策略
(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.
(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
[提醒]探索线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用.
模拟训练
1．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知四棱锥中，平面，，，，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
2．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
3．（2023·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等腰三角形，.
(1)求证：；
(2)若侧面底面，侧棱与底面所成角的正切值为，为侧棱上的动点，且.是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数若不存在，请说明理由.
4．（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．
(1)求证：MN平面PAD；
(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．
(1)求证：面面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．
6．（2023·上海·统考模拟预测）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.
(1)求四面体的体积；
(2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由.
7．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，．
(1)求证：平面PBC；
(2)在棱PC上是否存在一点G，使平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
8．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
9．（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
(1)求到平面的距离；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
10．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）四棱锥中，面，，，是的中点，在线段上，且满足．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．