新高考数学二轮复习专项训练09 数列求和及其综合应用（2份，原卷版+解析版）

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一、an与Sn的关系
1．数列{an}中，an与Sn的关系
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．求数列通项公式的常用方法：
(1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项公式an.
(3)在已知数列{an}中，满足eq \f(an＋1,an)＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公式an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
二、数列求和
数列求和常见方法：
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列．
(3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(c,anan＋1)))的数列．
三、数列的综合应用
数列与函数、不等式的交汇：
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题．
一、解答题
1．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
3．（2024·四川自贡·一模）已知数列的前顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前项和.
4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．（2024·广东茂名·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
6．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列并求；
(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高二下·广西钦州·阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为元D．
三、填空题
5．（2024·河北保定·二模）已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为 .
6．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
四、解答题
7．（2024·云南·模拟预测）已知数列.
(1)求；
(2)令为数列的前项和，求.
8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列bn的前项和.
9．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
10．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
11．（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
12．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．
C．数列的前10项和为30D．数列的前项和为
4．（2024·云南·模拟预测）设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 .
6．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则的前项和 ．
四、解答题
7．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
9．（2024·江苏宿迁·一模）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．
10．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
11．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
12．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.