新高考数学二轮复习专项训练10 空间几何体（2份，原卷版+解析版）

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一、空间几何体的截面问题
1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
2．确定截面的主要依据有
(1)平面的四个基本事实及推论．
(2)直线和平面平行的判定和性质．
(3)两个平面平行的性质．
(4)球的截面的性质．
二、表面积与体积
1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
(1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
(2)圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
(3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
(4)球的表面积S＝4πR2.
2．柱体、锥体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V球＝eq \f(4,3)πR3.
三、多面体与球
多面体的外接球模型：
(1)长方体的外接球直径为体对角线，
则R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)；
正方体的外接球半径为R＝eq \f(\r(3)a,2)；
正方体的内切球半径为r＝eq \f(a,2).
(2)柱体模型
如图①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，设外接球半径为R，球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，则R＝eq \r(OO\\al(2,1)＋O1A2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A为△ABC外接圆半径．
(3)锥体模型
如图②，在正三棱锥P－ABC中，先求出高线长h＝PO1＝eq \r(PA2－r2)，
在Rt△OO1A中，R2＝OOeq \\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R为外接球半径，r＝O1A为△ABC外接圆半径，O1为△ABC的外接圆圆心．
(4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体)
如图③：正四面体D－A′BC′可构造正方体(所有面对角线相等)；
如图④：对棱相等的三棱锥A－BCD可构造长方体(对面的对角线相等)．
一、单选题
1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高三上·云南·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ ）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．该圆台有内切球，且半径为
4．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为D．三棱锥外接球的半径为
三、填空题
5．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为 .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津北辰·三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A．B．C．D．6
8．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、多选题
11．（2024·山西朔州·一模）已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（ ）
A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C．圆锥的体积为
D．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
12．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（ ）
A．在四面体中，点的曲率为
B．在四面体中，点的曲率大于
C．四面体外接球的表面积为
D．四面体内切球半径的倒数为
13．（2023·辽宁·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ）
A．直线平面
B．直线平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积
14．（2024·安徽·一模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角等于
B．四棱锥的体积为
C．两条异面直线和所成的角为
D．二面角的平面角的余弦值为
三、填空题
15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 .
16．（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ．
17．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 .
18．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 .
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东广州·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南常德·三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（ ）

A．B．
C．D．
6．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）

A．cm3B．33664 cm3C．33792 cm3D．35456 cm3
8．（2024·北京丰台·一模）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：
①棱长为；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；
③表面积为；
④外接球的体积为．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
9．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过四点的球的表面积为
14．（2024·山东济宁·一模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
D．若CN与平面所成的角为，则
15．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
三、填空题
16．（2024·河南·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ．
17．（2024·浙江温州·一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 .