新高考数学二轮复习专项训练11 空间点、直线、平面之间的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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一、空间直线、平面位置关系的判定
1．判断与空间位置关系有关的命题的方法：
借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
2．两点注意：
(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
(2)当从正面入手较难时，可先假设结论成立，然后推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
二、空间平行、垂直关系
1．直线、平面平行的判定定理及其性质定理
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定定理及其性质定理
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
三、空间直线、平面位置关系中的综合问题
1．处理空间点、直线、平面的综合问题，要认真审题，并仔细观察所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解．
2．解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
一、单选题
1．（2023·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．9D．18
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过四点的球的表面积为
4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ）

A．当时，四面体的体积为定值
B．当时，存在，使得平面
C．对于任意，，总有
D．当时，在侧面内总存在一点P，使得
三、填空题
5．（2024·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 ．
6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．

四、解答题
7．（2024·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
8．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽淮北·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，且，则
C．若，且，则D．若，且，则
3．（2024·湖北·一模）如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·山西晋城·期末）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．（2024·江苏南通·模拟预测）已知是两个平面，，是两条直线，则下列命题错误的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，， ，那么
6．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（21-22高一下·贵州黔西·期末）如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
B．棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC
C．当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BC
D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角
11．（23-24高三上·山东潍坊·期中）在正方体中，直线平面，直线平面，直线平面，则直线的位置关系可能是（ ）
A．两两垂直B．两两平行
C．两两相交D．两两异面
12．（2024·山东潍坊·三模）在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与所成的角是
C．直线平面
D．平面截正方体所得的截面面积为.
三、填空题
13．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面积分别为，且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为，则棱台侧面的高为 ．
14．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
16．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．
(1)求三棱锥的体积．
(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.
17．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积．
18．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求三棱锥的体积．
19．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.
20．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.
(1)若平面平面，求点到平面的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）长方体中，四边形为正方形，直线与直线AD所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）

A．B．9C．D．
5．（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）

A．AC1=4B．BC1＝4C．AB1＝6D．B1C＝6
6．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·四川泸州·三模）已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则（ ）
A．直线l与平面PAD有一个交点
B．
C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为
10．（2024·河北·一模）如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有（ ）
A．平面AMN
B．平面DBF
C．平面AMN
D．F是的中点
11．（2024·浙江·二模）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为60°
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
12．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．四面体外接球的体积与正方体的体积之比为
三、填空题
13．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 .
14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为 .
15．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）一个三棱锥形木料，其中是边长为的等边三角形，底面，二面角的大小为，则点A到平面PBC的距离为 ．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为 ．
16．（23-24高三下·四川·阶段练习）如图，在平行四边形中，，且交于点，现沿折痕将折起，直至满足条件，此时 .

四、解答题
17．（2024·重庆·三模）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)证明平面，并求直线到平面的距离.
18．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；
(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，.
(1)证明：.
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.