新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题39 数列求和（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.
【考点预测】
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
【常用结论】
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂项求和常用的三种变形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
【方法技巧】
1.分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
2.用错位相减法求和的策略和技巧
(1)掌握解题“3步骤”
(2)注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3.裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
[注意] 利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
二、【题型归类】
【题型一】分组转化求和
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【典例2】已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.
【典例3】已知各项都不相等的等差数列{an}，a6＝6，又a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
【题型二】错位相减法求和
【典例1】设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
【典例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq \f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【典例3】在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，lg2(anan＋1)＝2n－1；③aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.
问题：已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{－nan}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型三】裂项相消法求和
【典例1】数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1.现在给你三个条件．①an＋1＝2an.②Sn＝2an＋t.③Sn＝2n＋k.从上述三个条件中．选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答．
已知________，若bn＝lg2an＋1，{bn}的前n项和为Tn.
(1)求Tn；
(2)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Tn)))的前n项和An＜2.
【典例2】数列{an}满足a1＝1, eq \r(aeq \\al(2,n)＋2)＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{aeq \\al(2,n)}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(2,an＋an＋1)，求数列{bn}的前n项和．
【典例3】在①数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(5,2)n；②aeq \\al(2,n)－an－aeq \\al(2,n－1)－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，an＞0，且a1＝b2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的M存在，求出M的最小值；若M不存在，说明理由．
数列{bn}是首项为1的等比数列，bn＞0，b2＋b3＝12，且____________，设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an lg3 bn＋1)))的前n项和为Tn，是否存在M∈N*，使得对任意的n∈N*，Tn＜M?
三、【培优训练】
【训练一】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))Sk＝________ dm2.
【训练二】已知数列{an}：eq \f(1,2)，eq \f(1,22)，eq \f(2,22)，eq \f(3,22)，eq \f(1,23)，eq \f(2,23)，eq \f(3,23)，eq \f(4,23)，eq \f(5,23)，eq \f(6,23)，eq \f(7,23)，eq \f(1,24)，eq \f(2,24)，…(其中第一项是eq \f(1,21)，接下来的22－1项是eq \f(1,22)，eq \f(2,22)，eq \f(3,22))，再接下来的23－1项是eq \f(1,23)，eq \f(2,23)，eq \f(3,23)，eq \f(4,23)，eq \f(5,23)，eq \f(6,23)，eq \f(7,23)，依此类推)，其前n项和为Sn，则下列判断正确的是( )
A.eq \f(210－1,210)是{an}的第2 036项
B．存在常数M，使得Sn＜M恒成立
C．S2 036＝1 018
D．满足不等式Sn＞1 019的正整数n的最小值是2 100
【训练三】已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)neq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【训练四】在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn，
在①bn＝eq \f(4,anan＋1)，②bn＝(－1)n·an，③bn＝这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
【训练五】已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nlg2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【训练六】已知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3).
(1)求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的通项公式；
(2)记eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，求证：SnSn＋2＜Seq \\al(2,n＋1)(n∈N*)；
(3)对任意的正整数n，设cn＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（3an－2）bn,anan＋2)，n为奇数，,\f(an－1,bn＋1)，n为偶数，))
求数列{cn}的前2n项和.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
A.－200 B.－100 C.200 D.100
2. 已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A.9 B.15 C.18 D.30
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为( )
A.184斤 B.176斤
C.65斤 D.60斤
4. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则该数列的前100项之和是( )
A.18 B.8 C.5 D.2
5. 已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝eq \f(f(n)－1,f(n)·f(n＋1))，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝eq \f(10,33)时，n的值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
6. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则该数列的前100项之和是( )
A．18 B．8
C．5 D．2
7. 已知数列{an}满足a1＝2，4a3＝a6，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列，则数列{(－1)nan}的前10项的和S10是( )
A．220 B．110
C．99 D．55
8. 数列{an}满足an＋1＝(－1)n＋1an＋2n－1，则数列{an}的前48项和为( )
A．1 006 B．1 176
C．1 228 D．2 368
【多选题】
9. 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则( )
A．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))为等差数列
B．Sn＝－eq \f(1,n)
C．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n－1)－\f(1,n)，n≥2，n∈N＋))
D．eq \f(1,S1S2)＋eq \f(1,S2S3)＋…＋eq \f(1,Sn－1Sn)＝eq \f(n－1,n)
10. 已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2.数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2.设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2 019时，n的取值可能是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
11. 已知数列{an}：eq \f(1,2)，eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，eq \f(1,4)＋eq \f(2,4)＋eq \f(3,4)，…，eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＋eq \f(3,10)＋…＋eq \f(9,10)，…，若bn＝eq \f(1,an·an＋1)，设数列{bn}的前n项和Sn，则( )
A.an＝eq \f(n,2) B.an＝n
C.Sn＝eq \f(4n,n＋1) D.Sn＝eq \f(5n,n＋1)
12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且有(a1＋a2＋…＋an)an＝(a1＋a2＋…＋an－1)an＋1(n≥2，n∈N*)，a1＝a2＝1.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg2Sn＋1·lg2Sn＋2)))的前n项和为Tn，则以下结论正确的是 ( )
A．an＝1 B．Sn＝2n－1
C．Tn＝eq \f(n＋1,n＋3) D．{Tn}为增数列
【填空题】
13. 已知数列{an}的首项为－1，anan＋1＝－2n，则数列{an}的前10项之和等于________.
14. 已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1 009(n∈N*)，则其前2 021项之和S2 021＝________.
15. 已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，且使得Sn－nan＋1＋50