新高考数学二轮复习数列专题练习分组求和（2份，原卷版+解析版）

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1．分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
2．分组转化法求和的常见类型
3.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
4.四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝eq \f(1,4)n2(n＋1)2.
母题呈现
【典例】（2021•新高考ⅠT17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
审题路线图
（1）由的通项公式→求，→得，→由→数列是等差数列→数列的通项公式
（2）由的通项公式→数列的奇数项为等差数列→数列的偶数项为等差数列→分组求解．
【解析】（1）因为，，
所以，，，……………………1分
所以，，……………………2分
，，……………………4分
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，……………………5分
所以．……………………6分
（2）由（1）可得，，
则，，……………………7分
当时，也适合上式，
所以，，……………………8分
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，……………………9分
则的前20项和为……………………10分
……………………12分
评分细则 第(1)问：由的通项公式求，得1分；求出，得1分；整理出得2分，说明数列是以为首项，以3为公差的等差数列得1分，利用通项公式求出得1分.
第(2)问：利用得到得1分，验证当时的情况得1分，注意这里容易丢分，说明数列的奇数项和偶数项分别为等差数列得1分，对前20项分组得一分，利用等差数列求和，计算准确得2分
方法总结
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
2.若数列{cn}的通项公式为cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
模拟训练
1．（2023·甘肃武威·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
.
4．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
5．（2022·上海虹口·统考一模）在等差数列中，，且，，构成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
6．（2022·四川成都·统考一模）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
7．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列的前项和为，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，且，求的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
9．（2021·广东揭阳·校考二模）已知数列中，，．
(1)证明：数列和数列都是等比数列；
(2)若数列的前项和为，令，求数列的最大项.
10．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知递增数列的前项和为，且，数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．