新高考数学一轮复习考点讲义：第04章第1讲导数的概念与运算（含解析）

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一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d15(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d15(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
3．几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是：在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二 基本初等函数的导数公式
三 导数的运算法则
若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
四 复合函数的导数
设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常/用/结/论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2). (eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))
3.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
4．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()
(4)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cs(－x)．()
2．(2024·辽宁营口模拟)下列函数的求导正确的是( )
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcs x)′＝cs x－xsin x
C．(ln 10)′＝eq \f(1,10)
D．(e2x)′＝2ex
解析：∵(x－2)′＝－2x－3，∴A错误；∵(xcs x)′＝cs x－xsin x，∴B正确；∵(ln 10)′＝0，∴C错误；∵(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B.
答案：B
3．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝eq \f(π,2)处的瞬时变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
解析：∵y＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cs x.
∴k1＝cs 0＝1，k2＝cs eq \f(π,2)＝0，∴k1＞k2.
答案：A
4．(1)已知函数y＝f(x)，若f′(x0)＝－3，则lieq \(m,\s\d15(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)＝________.
(2)曲线y＝eq \f(x2,2)－3ln x的斜率为－2的切线方程为________．
解析：(1)依题意，
lieq \(m,\s\d15(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)＝f′(x0)＝－3.
(2)∵y＝eq \f(x2,2)－3ln x，x＞0，∴y′＝x－eq \f(3,x)，由y′＝x－eq \f(3,x)＝－2，可得x＝1或x＝－3(舍去)，当x＝1时，y＝eq \f(1,2)，∴曲线y＝eq \f(x2,2)－3ln x的斜率为－2的切线方程为y－eq \f(1,2)＝－2(x－1)，即4x＋2y－5＝0.
答案：(1)－3 (2)4x＋2y－5＝0
题型 对导数概念的理解
典例1(1)函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
(2)设f(x)＝x2－x，则lieq \(m,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f2－Δx－f2,Δx)＝________.
解析：(1)函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为eq \f(22－12,2－1)＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在
强调概念，平均变化率＝eq \f(f2－f1,2－1).
x＝2处的导数为2×2＝4.故答案为3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f2－Δx－f2,Δx)＝－eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f2－Δx－f2,－Δx)＝－f′(2)＝－(2×2－1)＝－3.故答案为－3.
导数定义的探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当Δx→0时该函数的平均变化率eq \f(Δy,Δx)的极限是否存在．这样讲很笼统，应这样说，基本初等函数在定义域内每个点处都可导.
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数值的变化量Δy，再算比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)，再这里有两个量，Δx和x，在求极限过程中，x暂时理解为常量，此时Δx为变量，在极限结果中，Δx消失，此时x可以看作变量了．
求极限y′＝lieq \(m,\s\d15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
(3)导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种．
(4)导数定义lieq \(m,\s\d15(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，也即lieq \(m,\s\d15(x→x0)) eq \f(fx－fx0,x－x0)＝f′(x0)．
对点练1(2024·河北张家口模拟)若f(x)＝ln(2－x)＋x3，则eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由题意f′(x)＝eq \f(1,x－2)＋3x2，
所以f′(1)＝eq \f(1,1－2)＋3＝2，
所以eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝
eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d15(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1,2)f′(1)＝1.
故选A.
答案：A
题型 基本的导数运算
典例2求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))；
(3)f(x)＝e－0.05x＋1；
(4)f(x)＝eq \f(1,\r(1－2x2))；
(5)f(x)＝(sin 2x＋1)2.
解：(1)方法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
化为多项式再求导．
方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·
应用导数的运算法则求导．
2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)∵f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))
先运算，化为不带根式，再求导，运算简单些．
＝eq \f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq \f(1－\r(x)2,1－x)
＝eq \f(2＋2x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2，
∴f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,1－x)－2))′＝eq \f(－41－x′,1－x2)＝eq \f(4,1－x2).
(3)令u(x)＝－0.05x＋1，φ(u)＝eu，则f(x)＝
复合函数求导，先把复合过程弄清楚．
φ(u(x))，而u′(x)＝－0.05，φ′(u)＝eu，故f′(x)＝e－0.05x＋1×(－0.05)＝－0.05e－0.05x＋1.
(4)设y＝u eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ，u＝1－2x2，这里(eq \r(u))′＝eq \f(1,2\r(u)).
则f′(x)＝(u eq \s\up15(－eq \f(1,2)) )′(1－2x2)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)u eq \s\up15(－eq \f(3,2)) ))·(－4x)＝－eq \f(1,2)(1－2x2) eq \s\up15(－eq \f(3,2)) (－4x)＝2x(1－2x2) eq \s\up15(－eq \f(3,2)) .
(5)令u(x)＝sin 2x＋1，φ(u)＝u2，则f(x)＝φ(u(x))，而u′(x)＝2cs 2x，φ′(u)＝2u，故f′(x)＝2cs 2x×2u＝4cs 2x(sin 2x＋1)，化简得到f′(x)＝2sin 4x＋4cs 2x.
导数的计算方法
(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
对点练2求下列函数的导数：
(1)y＝3xex－2x＋e；
(2)y＝eq \f(x2,sin x)；
(3)y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(4)y＝eq \r(x)ln x；
(5)y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解：(1)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,sin x)))′
＝eq \f(x2′sin x－x2sin x′,sin2x)
＝eq \f(2xsin x－x2cs x,sin2x).
(3)y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2,3)π))，
故设y＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs u，u＝4x＋eq \f(2,3)π，
∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,2)sin u·4
＝2sin u＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2,3)π)).
(4)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))))ln x＋eq \r(x)·eq \f(1,x)＝eq \f(2＋ln x,2\r(x))＝eq \f(2＋ln x\r(x),2x).
(5)∵y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin 4x.
∴y′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(1,2)x·4cs 4x＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
题型 导数几何意义的多维研讨
维度1 求曲线的切线方程
典例3已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)求曲线y＝f(x)经过原点的切线方程及切点坐标．
解：(1)f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
先求导函数，代入求切线斜率，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)方法一：设切点坐标为(x0，y0)，切线为l，
则切线l的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
∴切线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又∵切线l过点(0,0)，
∴0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16，
整理得xeq \\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，
代入原点(0,0)得到关于x0的方程，求解x0的值. 总之，过点作切线，先设切点(x0，f(x0))，得到切线方程，通过代入已知点，构造方程．
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13.
故切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二：设切线为l，则l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，
则k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(x\\al(3,0)＋x0－16,x0).
又∵k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，
∴eq \f(x\\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，解得x0＝－2，
此构造方程的思路和方法一效果雷同．
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程．在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
对点练3(1)(2024·山西大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
(2)(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
解析：(1)因为f(x)＝2e2ln x＋x2，
所以f′(x)＝eq \f(2e2,x)＋2x，f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，所以f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，
即4ex－y－e2＝0.
(2)当x>0时，y＝ln x，设切点为(x0，y0)，x0>0，则由y′＝eq \f(1,x)，得切线斜率k＝eq \f(1,x0)，又切线的斜率为eq \f(y0,x0)，所以eq \f(1,x0)＝eq \f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e.所以k＝eq \f(1,e)，所以切线方程为y＝eq \f(1,e)x，同理可求得当x0，得x1；令g′(x)0，且a≠1，x>0)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x(x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
x
(－∞，
－1)
－1
(－1，
1)
1
(1，
＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

极大值
t

极小值
t－8
