新高考数学一轮复习考点讲义：第03章第7讲函数的图象（含解析）

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一 利用描点法作函数的图象
二 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up16(a>0，右移a个单位),\s\d16(a0，上移b个单位),\s\d16(b0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
题型 利用变换作函数图象
典例1作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
eq \f(一次,一次)型需分离系数后，得知其由反比例函数平移变换而来，也只有经过分离系数，才可判断其单调性．
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|.
由解析式便知其为偶函数．
解：(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1.
(2)函数解析式可化为y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq \f(1,x)的图象
定义域为x≠1，值域为y≠2. 两条渐近线为x＝1和y＝2，点(1,2)为对称中心. 一般地，y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)型的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (x≠－\f(b,a))))，值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (y≠\f(c,a)))).
向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.
(3) 作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，再作y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象中x>0的部分关于y轴的对称图象，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图3.
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
对点练1作出下列函数的图象．
(1)y＝|lg2(x＋1)|；(2)y＝eq \f(1,2－|x|).
解：(1)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图1所示．
(2)y＝eq \f(1,2－|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2－x)，x≥0且x≠2，,\f(1,2＋x)，x0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意．
方法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝eq \f(5ex－e－x,x2＋2)是奇函数，故排除A；
由函数的运算关系判断奇偶性．
因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝eq \f(5sin x,x2＋1)是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝eq \f(5ex＋e－x,x2＋2)>0恒成立，不符合题意，故排除C．分析知，选项D符合题意，故选D．
由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照．
(2)从图象的增减变化趋势，分析函数的单调性，与函数解析式对照．
(3)从图象的对称性特征，分析函数的奇偶性，与函数解析式对照．
(4)从图象的循环往复特征，分析函数的周期性，与函数解析式对照．
函数的零点、最值等信息也很重要.
对点练3(2024·天津静海一中调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝eq \f(4＋ln|x|,1＋\f(1,2)cs x)
B．f(x)＝eq \f(x2cs x,e|x|)
C．f(x)＝eq \f(cs x·ln|x|,2＋sin x)
D．f(x)＝eq \f(2＋ln|x|,x2＋cs x)
解析：根据题图得函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数．
对于A选项，f(x)＝eq \f(4＋ln|x|,1＋\f(1,2)cs x)为偶函数，但f(1)＝eq \f(4,1＋\f(1,2)cs 1)>2，不合题意，排除A；对于B选项，函数的定义域为R，不合题意，排除B；对于C选项，函数的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝eq \f(cs－x·ln|－x|,2＋sin－x)＝eq \f(cs x·ln|x|,2－sin x)，故函数为非奇非偶函数，不合题意，排除C．故选D．
答案：D
题型 函数图象的综合应用
典例4(1)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
准确画出分段函数的图象是关键，关键之处在于其有一条渐近线y＝1.
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
解析：(1)画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图中实线部分所示．由图可知，y的最小值为4.故选C.
只能数形结合，在同一坐标系内，观察三个图象的大小关系，取其大者．
(2)因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个不同的交点，作出函数图象，如图所示，
数形结合思想，把方程根的个数转化为两图象交点的个数．
依据函数的单调性、端点值准确画图．
所以当x∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．故选D.
函数图象的应用
(1)研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)．
(2)解不等式．
(3)求参数的取值范围．
对点练4(1)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是_________________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－6x－8，x≤0，,|lg x|，x>0，))若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4(x1