第2章 第7节　函数的图象-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第2章 第7节　函数的图象-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共10页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)函数图象平移变换八字方针
①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(2)对称变换
①f (x)与f (－x)的图象关于y轴对称．
②f (x)与－f (x)的图象关于x轴对称．
(3)翻折变换
①|f (x)|的图象是将f (x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．
②f (|x|)的图象是f (x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧得到．
(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论
①函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
③若函数y＝f (x)的定义域内任意自变量x满足f (a＋x)＝f (a－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)函数图象自身的轴对称
①f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)；
③若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(6)函数图象自身的中心对称
①f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f (x)的图象关于(a,0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)；
③函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同．(×)
(2)函数y＝af (x)与y＝f (ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×)
(3)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于原点对称．(×)
(4)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝1对称．(√)
(5)将函数y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f (－x－1)的图象．(×)
2．下列图象是函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是( )
C 解析：函数f (x)的图象是由y＝x2的图象中x<0的部分和y＝x－1的图象中x≥0的两部分组成．故选C．
3．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则与以上事件吻合最好的图象是( )
C 解析：与学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．
4．函数f (x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f (x)＝( )
A．ex＋1B．ex－1
C．e－x＋1D．e－x－1
D 解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x.将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f (x)的图象，所以f (x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
(0，＋∞) 解析：由题意得a＝|x|＋x.令y＝|x|＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,0，x<0，))其图象如图所示．故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
考点1 作函数的图象——基础性
分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x≥1，,－lg x，0(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位长度．图象如图(2)所示．
(3)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0.))图象如图(3)所示．
作函数图象的两种常用方法
1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
考点2 判断函数的图象——综合性
考向1 由函数图象的解析式判断图象
(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝eq \f(2x3,2x＋2－x)在[－6，6]的图象大致为( )
B 解析：因为 y＝f (x)＝eq \f(2x3,2x＋2－x)，x∈[－6,6]，
所以 f (－x)＝eq \f(2－x3,2－x＋2x)＝－eq \f(2x3,2－x＋2x)＝－f (x)，所以 f (x)是奇函数，排除选项C．当x＝4时，y＝eq \f(2×43,24＋2－4)＝eq \f(128,16＋\f(1,16))∈(7,8)，排除选项A，D．故选B．
(2)已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为( )

D 解析：(方法一)先作出函数y＝f (x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f (－x)的图象；
然后将y＝f (－x)的图象向右平移2个单位长度，得到y＝f (2－x)的图象；
再作y＝f (2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f (2－x)的图象．故选D．
(方法二)先作出函数y＝f (x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f (－x)的图象；然后将y＝－f (－x)的图象向右平移2个单位长度，得到y＝－f (2－x)的图象．故选D．
下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )
A．y＝x＋lg xB．y＝x－lg x
C．y＝－x＋lg xD．y＝－x－lg x
B 解析：当x＝1时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故排除选项C，D；当x＝eq \f(1,10)时，由图象知y>0，而A中y＝eq \f(1,10)＋lg eq \f(1,10)＝－eq \f(9,10)<0，排除A．故选B．
1．函数图象的辨识方法
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点
(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；
(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换.
考向2 由动点探究函数图象
在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
B 解析：依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．
借助动点探究函数图象问题
解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图象；也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置时考查图象的变化特征，从而作出选择．
1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝eq \f(sin x＋x,cs x＋x2)在[－π，π]的图象大致为( )
D 解析：因为f (－x)＝eq \f(sin－x－x,cs－x＋－x2)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，排除A．
当x＝π时，f (π)＝eq \f(π,－1＋π2)>0，排除B，C．故选D．
2．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0,\f(1,x)，x<0，))g(x)＝－f (－x)，则函数g(x)的图象是( )
D 解析：(方法一)由题设得函数g(x)＝－f (－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2，x≤0，,\f(1,x)，x>0.))据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D．
(方法二)先画出函数f (x)的图象，如图1所示，再根据函数f (x)与－f (－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x)，即g(x)的图象，如图2所示．故选D．
3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f (x)的大致图象为( )

C 解析：(方法一)由题意得y＝eq \r(x2＋2－x2)＝eq \r(2x2－4x＋4)，x∈(0,2)不是一次函数，排除选项A，B．当x→0时，y→2，故选C．
(方法二)由方法一知y＝eq \r(2x－12＋2)在(0,1]上单调递减，在[1,2)上单调递增，且非一次函数．故选C．
考点3 函数图象的应用——综合性
考向1 研究函数的性质
已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f (x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减
D．f (x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
C 解析：f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f (x)的图象，如图．
观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
利用函数的图象研究函数的性质
考向2 解不等式
函数f (x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f (x)＝x－1，则不等式xf (x)＞0在(－1,3)上的解集为( )
A．(1,3)B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)
C 解析：作出函数f (x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf (x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf (x)>0得x∈；当x∈(1,3)时，由xf (x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．
考向3 求参数的取值范围
设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) 解析：作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，如图，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
与函数相关的不等式问题的求解方法
当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．
1．对a，b∈R，记max{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，aeq \f(3,2) 解析：函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示．由图象可得，其最小值为eq \f(3,2).
2．已知函数f (x)在R上单调且其部分图象如图所示．若不等式－21 解析：由图象可知不等式－23．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))，x≤－1，,－\f(1,3)x2＋\f(4,3)x＋\f(2,3)，x>－1.))若f (x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
[－8，－1] 解析：作出函数f (x)的图象，当x≤－1时，函数f (x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))单调递减，且最小值为f (－1)＝－1.令lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝2，解得x＝－8.当x>－1时，函数f (x)＝－eq \f(1,3)x2＋eq \f(4,3)x＋eq \f(2,3)在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2.又f (4)＝eq \f(2,3)<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．