新高考数学一轮复习考点讲义：第03章第9讲函数模型及其应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第03章第9讲函数模型及其应用（含解析），共11页。

一 常见的函数模型
二 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
三 解答函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结构；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
常/用/结/论
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变．
2．“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 理解语言描述，形成图形直观，最好能给予代数抽象的证明．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．()
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．(√)
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．故选D.
答案：D
3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，那么可知先是匀速运动，图象为直线，然后再休息，路程不变，时间持续10分钟，最后还是匀速运动，图象为直线．故选D.
答案：D
4．(2024·广东湛江模拟)2022年4月16日，神舟十三号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv＝veln eq \f(m0,m1)，其中Δv为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭ve达到5公里/秒，eq \f(m0,m1)从100提高到600，则速度增量Δv增加的百分比约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A．15% B．30%
C．35% D．39%
解析：由题意，当eq \f(m0,m1)＝100时，速度的增量为Δv1＝5ln 100；当eq \f(m0,m1)＝600时，速度的增量为Δv2＝5ln 600＝5ln 100＋5ln 6，所以eq \f(Δv2－Δv1,Δv1)＝eq \f(5ln 100＋5ln 6－5ln 100,5ln 100)＝eq \f(ln 6,ln 100)＝eq \f(ln 2＋ln 3,2ln 2＋ln 5)≈39%.故选D.
答案：D
题型 用函数图象刻画实际问题
典例1(2024·河南驻马店模拟)有一个盛水的容器，由悬在它的上方的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示，若图中PQ为一条线段，则与之对应的容器的形状是( )
从O→P，水面上升的速率逐渐加快，说明下粗，上细，P→Q，匀速增加，说明粗细均匀．
选项C的高度y和时间t的变化应如下图：
你能画出选项A和D的大致情形吗？
解析：由函数图象可判断出该容器上下必定有不同的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，故选B.
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相结合即可．
对点练1如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T，若鱼缸水深为h时，水流出所用的时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；一开始，h＝H，h随着时间的变化，减少程度逐渐变慢，而当水排出超过一半时，h随着时间的变化，减少程度逐渐加快，故对应的图象为B.故选B.
答案：B
题型 函数模型在实际问题中的运用
典例2(2024·山东济南一中月考)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L＝32.44＋20lg D＋20lg F，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗(亦称衰减)，单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18 dB，则传输距离增加了约(参考数据：lg 2≈0.3，lg 4≈0.6)( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析：设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则L′＝L＋18，F′＝2F,18＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D
恰当的符号表达，是解题的倍增器，把条件转化为两组变量的方程，从中求解．
－20lg F＝20lg eq \f(D′,D)＋20lg eq \f(F′,F)，则20lg eq \f(D′,D)＝18－20lg 2≈12，即lg eq \f(D′,D)≈0.6≈lg 4，从而D′≈4D，即传输距离增加了约3倍．故选C.
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
对点练2(2024·四川成都石室中学模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0为初始污染物含量，且M0，k是正常数)．已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物需要的时间最接近(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．3 h B．4 h
C．5 h D．6 h
解析：由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8.
令(1－60%)M0＝M0e－kt，则0.4＝e－kt＝(e－k)t＝(0.8)t，
所以t＝lg0.80.4＝eq \f(lg 0.4,lg 0.8)＝eq \f(lg \f(2,5),lg \f(4,5))＝eq \f(lg 2－lg 5,2lg 2－lg 5)＝eq \f(lg 2－1－lg 2,2lg 2－1－lg 2)＝eq \f(2lg 2－1,3lg 2－1)≈eq \f(2×0.301－1,3×0.301－1)＝eq \f(－0.398,－0.097)≈4.103，最接近4 h．故选B.
答案：B
题型 函数模型解决实际问题的多维研讨
维度1 构建二次函数模型
典例3(2024·河北张家口模拟)新能源汽车环保、节能，以电代油，减少碳排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13 500元，到第x年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3 200x)元，每台充电桩每年可给公司收益8 000元．(eq \r(19)≈4.36)
(1)每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大．
解：(1)设每台充电桩在第x年年末的利润为f(x)元，
则f(x)＝8 000x－(300x2＋3 200x)－13 500＝－300x2＋4 800x－13 500，
令f(x)>0，解得8－eq \r(19)eq \f(2ab,a＋b)，所以eq \f(5a＋b,2)>eq \f(5×2ab,a＋b)，
即按照主播小琦的方式购买更省钱，即主播小琦的方式更划算．
(2)由题意可知，姚女士可买eq \f(200,fx)＋eq \f(300,f1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(400,2－x)＋\f(600,1＋x)))(千克)，
eq \f(400,2－x)＋eq \f(600,1＋x)＝200×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2－x)＋\f(3,1＋x)))＝200×eq \f(8－x,－x2＋x＋2)＝eq \f(200,x－8＋\f(54,x－8)＋15)，其中x－8∈[－8，－7]，令x－8＝t，则t∈[－8，－7]．
令u＝t＋eq \f(54,t)＋15，t∈[－8，－7]，易得该函数在[－8，－eq \r(54)]上单调递增，在[－eq \r(54)，－7]上单调递减，
当t＝－8时，u＝eq \f(1,4)，当t＝－7时，u＝eq \f(2,7).
因为eq \f(1,4)