新高考数学一轮复习考点精讲精练 第09讲 函数模型及其应用（2份，原卷版+解析版）

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一．用函数图像刻画变化过程
例1．（1）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.
【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.
ACD选项都是单调函数，不符合.
故选：B
（2）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】数形结合，分P点在BC、CD、DA三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出图像﹒
【详解】由题意：
P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x；
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8；
P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x．
故选：D﹒
（3）今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.
【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当时，，故选项C正确；
对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
（4）植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）
A．(且 )
B．(，且 )
C．
D．
【答案】B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
（5）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映建议（2），③反映建议（1）B．①反映建议（1），③反映建议（2）
C．②反映建议（1），④反映建议（2）D．④反映建议（1），②反映建议（2）
【答案】B
【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.
【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；
对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.
（6）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的变化可直接判断.
【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型.
故选：C.
【点睛】本题考查函数模型的判断，属于基础题.
【复习指导】：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
二．已知函数模型的实际问题
例2．（1）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（ ）
A．26米B．28米C．31米D．33米
【答案】C
【分析】计算二次函数的最值即可.
【详解】，.
故选：C
（2）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟B．5分钟C．6分钟D．7分钟
【答案】C
【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
（3）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gmpertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________.
【答案】6
【分析】依题意得通过计算化简得，则问题可解．
【详解】令由题意知，，
所以 得， 则
所以，解得，所以m的最小值为6
故答案为：6
【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．
（4）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②年产量为105千件，最大利润是1000万元.
【分析】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
【详解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，；
当时，，
所以.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，，当时，取得最大值950，
当时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
【复习指导】：求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
三．构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例3 某居民小区要建一座休闲场所， 如图， 它的主体造型平面图是一个长为 4 ， 宽为 2 的矩形 ． 居民小区计划在上建一座花坛(图中阴影部分)， 在和上建两个沙坑． 若， 记花坛的面积为， 两个沙坑的总面积为(点与正方体的顶点不重合)．
(1)求 关于的函数表达式， 并直接写出自变量的取值范围．
(2)当 为何值时，的值最大？ 并求出这个最大值．
【答案】(1)关于的函数表达式为， 自变量的取值范围是
(2)当 时，取得最大值， 最大值为 7
【分析】（1）由题及图可知 将已知条件代入化简即可
（2）由（1）将代入 ，由题知，化简表达式利用二次函数求解即可
【详解】（1）由题意得：
．
（2）则关于的函数表达式为， 自变量的取值范围是．
（2）
，
当 时，取得最大值， 最大值为7 ．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例4 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【详解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0