新高考数学一轮复习考点讲义：第04章第2讲导数与函数的单调性（含解析）

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一 函数的单调性与导数的关系
二 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
注意：导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
常/用/结/论
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)0.()
(3)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)
(4)如果函数f(x)在区间(a，b)上变化得越快，其导数就越大．()
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x＞x1时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．故选C.
答案：C
3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a，由结论1知f′(x)≥0，即a≤3x2，
又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
4．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,3))).
(1)若f(x)在(2,3)上单调，则结合f′(x)的图象有f′(2)＝12－4a≥0或f′(3)＝27－6a≤0，可得a≤3或a≥eq \f(9,2).
(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则2＜eq \f(2a,3)＜3，可得3＜a＜eq \f(9,2).
答案：(1)(－∞，3]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,2)))
题型 简单函数的单调性问题
典例1求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x＋2eq \r(1－x)；
(2)f(x)＝eq \f(sin x,2＋cs x)；
(3)f(x)＝e2x－e(2x＋1)．
解：(1)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－eq \f(1,\r(1－x)).f′(x)在区间(－∞，1]上单调递减，f′(x)＝0的解x＝0是原函数的极大值点．
令f′(x)＝0，得x＝0.当0