新高考数学一轮复习讲义第3章　§3.2　导数与函数的单调性（2份打包，原卷版+含解析）

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))，f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的大小关系为________________．(用“<”连接)
题型一 不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________．
(2)若函数f(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)，则函数f(x)的单调递增区间为________．
思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x－ln x－eq \f(ex,x).判断函数f(x)的单调性．
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)下列不等式成立的是( )
A．2ln eq \f(3,2)C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
(2)已知函数f(x)＝cs x＋ex＋e－x－eq \f(1,2)x2，则关于x的不等式f(2x－1)A．(－1,2)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，4))
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))∪(4，＋∞)
命题点2 根据函数的单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(1,ex)－ex＋2x－eq \f(1,3)x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
课时精练
1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) D．(e，＋∞)
2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则y＝f(x)函数的图象可能是( )
3．(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))ln x，且a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
4．已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)若0A． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 >ln eq \f(x2＋1,x1＋1) B． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 C．x2 SKIPIF 1 < 0 >x1 SKIPIF 1 < 0 D．x2 SKIPIF 1 < 0 6．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有eq \f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
7．函数f(x)＝e－xcs x(x∈(0，π))的单调递增区间为________．
8．已知函数f(x)＝eq \f(3x,a)－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是( )
A．f(ln 2)＝ln eq \f(5,2)B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln 2
12．已知函数f(x)＝ex－e－x＋eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是( )
A．2a＋b<－1 B．2a＋b>－1
C．4a＋b<1 D．4a＋b>1
13．(多选)已知f(x)＝(a2－1)ex－1－eq \f(1,2)x2，若不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)))在(1，＋∞)上恒成立，则a的值可以为( )
A．－eq \r(2) B．－1 C．1 D.eq \r(2)
14．若x1· SKIPIF 1 < 0 ＝x2·lg2x2＝2 024，则x1x2的值为________．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数