新高考数学一轮复习考点讲义：第04章第4讲第1课时高考中的导数综合问题（含解析）

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题型 分离参数法求参数范围
典例1(2024·河南实验中学模拟)已知函数f(x)＝2x－sin x.
(1)求f(x)的图象在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))处的切线方程；
(2)对任意的x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≤ax，求实数a的取值范围．
很容易实现参变分离a≥eq \f(fx,x).
解：(1)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝π－1，
所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π－1))，
因为f′(x)＝2－cs x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2，
所以所求切线的方程为
y－(π－1)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，即2x－y－1＝0.
(2)由f(x)≤ax，得2x－sin x≤ax，
所以a≥2－eq \f(sin x,x)，其中x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
令h(x)＝2－eq \f(sin x,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得h′(x)＝eq \f(sin x－xcs x,x2)，
求导的目的是搞清其符号，从而知道函数的单调性，但第一次求导并没直接判断出来．
设φ(x)＝sin x－xcs x，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
提取分子为新函数. φ(x)再次求导，研究其性质，目的依然为说明φ(x)的符号．
则φ′(x)＝xsin x＞0，
所以φ(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以φ(x)＞sin 0－0×cs 0＝0，
所以h′(x)＞0，
所以h(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
h(x)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2－eq \f(2,π)sin eq \f(π,2)＝2－eq \f(2,π)，
所以a≥2－eq \f(2,π)，
即a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,π)，＋∞)).
“分离参数法”解决不等式恒成立问题
其实有时，不等式恒成立求参问题，若不能实现参变分离，也会采用函数法. f(λ，x)＞0恒成立⇔f(λ，x)min＞0，而这个最小值，则要带参讨论最值．
“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法．其基本过程如下：
(1)已知含参数λ的不等式f(λ，x)>0恒成立．
(2)将不等式转化为g(λ)>h(x)，即一端是参数λ，另一端是变量表达式h(x)．
(3)求函数h(x)的最值或值域．可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等．
(4)得出结论．例如对于g(λ)>h(x)，若h(x)的最大值为M，则g(λ)>M；若h(x)不存在最大值，其值域为(m，M)时，g(λ)≥M.
对点练1已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋2)x＋2aln x(a∈R)．
(1)若a＞2，讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝－(a＋2)x，若至少存在一个x0∈[e,4]，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋2)x＋2aln x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \f(x2－a＋2x＋2a,x)＝eq \f(x－2x－a,x).
当a＞2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜2或x＞a，由f′(x)＜0，得2＜x＜a，
∴f(x)在(0,2)和(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．
(2)至少存在一个x0∈[e,4]，使得f(x0)＞g(x0)成立，即当x∈[e,4]时，eq \f(1,2)x2＋2aln x＞0有解．
∵当x∈[e,4]时，ln x≥1，∴2a＞－eq \f(\f(1,2)x2,ln x)有解，
令h(x)＝－eq \f(\f(1,2)x2,ln x)，x∈[e,4]，则2a＞h(x)min.
∵h′(x)＝－eq \f(xln x－\f(1,2)x2·\f(1,x),ln x2)
＝－eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x－\f(1,2))),ln x2)＜0，
∴h(x)在[e,4]上单调递减，
∴h(x)min＝h(4)＝－eq \f(4,ln 2)，
∴2a＞－eq \f(4,ln 2)，即a＞－eq \f(2,ln 2)，
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,ln 2)，＋∞)).
题型 等价转化法求参数范围
典例2已知函数f(x)＝aln(x＋1)，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝3处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)≥x－eq \f(1,2)x2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)，所以切点为(3，ln 4)．
因为f′(x)＝eq \f(1,x＋1)，所以切线的斜率为k＝f′(3)＝eq \f(1,4)，所以曲线y＝f(x)在x＝3处的切线方程为y－ln 4＝eq \f(1,4)(x－3)，化简得x－4y＋8ln 2－3＝0.
(2)对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)≥x－eq \f(1,2)x2恒成立，即aln(x＋1)－x＋eq \f(1,2)x2≥0恒成立．
令h(x)＝aln(x＋1)－x＋eq \f(1,2)x2(x≥0)，
为啥不分离参数呢？因为若两边同时除以ln (x＋1)后得到函数g(x)＝eq \f(x－\f(1,2)x2,ln x＋1)，求导数很困难，因此遇到含有ln x的代数式，变形技巧则常常是将ln x从代数式中分离出来，以利于求导．
则h′(x)＝eq \f(a,x＋1)－1＋x＝eq \f(x2＋a－1,x＋1)(x≥0)．
①当a≥1时，h′(x)≥0恒成立，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
因此h(x)min＝h(0)＝0，所以a≥1符合条件．
②当a＜1时，由h′(x)＝0，x≥0，
解得x＝eq \r(1－a)，
当x∈(0，eq \r(1－a))时，h′(x)＜0；当x∈(eq \r(1－a)，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)min＝h(eq \r(1－a))＜h(0)＝0，这与h(x)≥0矛盾，应舍去．
本例中的函数h(x)，隐藏有一个信息h(0)＝0，欲使h(x)≥0恒成立，在x＝0的右侧区间不可能单调递减．
综上可知，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
“等价转化法”解决不等式恒成立问题
在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)>0或f(x，a)≥0的形式，直接用参数表达函数的最值，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．
含参函数单调性的讨论是重点，如何讨论参数，如何影响单调性，因题而异了．
(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)>0恒成立⇔g(a)>0，f(x，a)≥0恒成立⇔g(a)≥0.
(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)g(x)在[c，d]上的最大值．即f(x)min＞g(x)max.
(2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔
f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值．即f(x)max＞g(x)min.
(3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔
f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值．即f(x)min＞g(x)min.
(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔
f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值．即f(x)max＞g(x)max.
对点练3已知函数f(x)＝eq \f(4x2－7,2－x)，x∈[0,1]．
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝eq \f(－4x2＋16x－7,2－x2)
＝－eq \f(2x－12x－7,2－x2)，x∈[0,1]．
令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(1,2)或x＝eq \f(7,2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
所以f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，
又f(0)＝－eq \f(7,2)，f(1)＝－3，
所以f(x)max＝f(1)＝－3.
故当x∈[0,1]时，f(x)的值域为B＝[－4，－3]．
(2)“对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上，函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集”，即B⊆A.
因为a≥1，所以当x∈(0,1)时，g′(x)＝3(x2－a2)