(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第14讲《导数的概念及运算》（解析版）

第14讲  导数的概念及运算

思维导图

知识梳理

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)′＝(g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

题型归纳

题型1    导数的运算

【例1-1】（2020春•房山区期末）已知函数，则它的导函数等于　　

A． B．  C． D．

【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数（1），化简变形即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，其导数（1）；

故选：．

【例1-2】（2020春•南阳期末）已知：函数，其导函数．若函数的导函数，且，则的值为　　

A． B．1 C． D．

【分析】求出函数的解析式，计算的值即可．

【解答】解：由题意设，

则，符合题意，

故，解得：，

故，

，

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则　 　．

【分析】先求出函数的导数，再根据（1），求得的值．

【解答】解：函数，，

若（1），，则，

故答案为：1．

【跟踪训练1-2】（2020春•金凤区校级期末）已知（1），则（1）的值为　　．

【分析】根据题意，求出函数的导数，令，可得（1）（1），变形解可得（1）的值．

【解答】解：根据题意，（1），

其导数（1），

令，得（1）（1），

所以（1），

故答案为：

【名师指导】

1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．

2．常见形式及具体求导6种方法

题型2    求切线方程

【例2-1】（2020春•蓝田县期末）曲线在点处的切线方程为　　

A． B． C． D．

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．

【解答】解：由，得，

．

曲线在点处的切线方程为．

即．

故选：．

【例2-2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．

【解析】因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.

所以由解得x0＝1，y0＝0.

所以直线l的方程为y＝x－1，

即x－y－1＝0.

【跟踪训练2-1】（2020•海东市模拟）已知函数，则曲线在点处的切线的方程为　　         ．

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．

【解答】解：由，得，

，

则曲线在点处的切线的方程为．

故答案为：．

【跟踪训练2-2】(2020·江西吉安一模)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

【解析】　当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝＝＝x＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3x，∴2x－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－，∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条，故选C.

【名师指导】

求曲线过点P的切线方程的方法

(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．

题型3    求切点坐标

【例3-1】（2020春•大兴区期末）过点作曲线的切线，则切点坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】设切点的坐标为，求得函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得切点．

【解答】解：设切点的坐标为，

的导数为，

可得切线的斜率为，

又切线过，可得，

解得，

则切点为．

故选：．

【跟踪训练3-1】（2020•沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为　　   ．

【分析】由已知结合直线的斜率公式及导数的几何意义即可求解．

【解答】解：因为，

所以，设切点为，，

，根据题意可得，

，即切点坐标．

故答案为：．

【名师指导】

求切点坐标的思路

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．

题型4   由曲线的切线（斜率）求参数取值范围

【例4-1】（2020春•海淀区校级期末）曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为　　

A． B．6 C．12 D．

【分析】求得的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程可得的值．

【解答】解：的导数为，

可得在点处的切线斜率为，

解得．

故选：．

【例4-2】（2020春•渭滨区期末）函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是　　

A．， B．， 

C．，， D．，，

【分析】易知切线斜率为1，由题意可知，只需的值域中含有1即可．由此构造的不等式，解出的范围．

【解答】解：，．

由题意，只需，有解，则只需的值域中包含1即可．

当时，，显然不符合题意；

当时，的开口向下，在对称轴处取得最大值，

故，即，结合得，即为所求．

故选：．

【跟踪训练4-1】（2020春•未央区校级期末）直线与曲线相切，则的值为　　．

【分析】求出原函数的导函数，设直线与曲线相切于，得到函数在处的导数，再由题意列关于与的方程组求解．

【解答】解：由，得，

设直线与曲线相切于，

则．

，解得．

的值为2．

故答案为：2．

【名师指导】

1．利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．

2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．

题型5    两曲线的公切线问题

【例5-1】（2020•上饶三模）已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，，则的值为　　

A．1 B．0 C． D．

【分析】分别设出切点，然后利用导数表示出切线方程，再利用是公切线，列出方程，求出切点，问题即可获解．

【解答】解：对于，设切点为，因为，故．

故切线方程为：．

即；

对于，设切点为，．

，．

故切线为：，

即．

根据为公切线得：，

解得．

故切线为．

令得．

故选：．

【跟踪训练5-1】（2020•遂宁模拟）若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】设公共点为，然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组，将消去，得到关于，的等量关系式，整理成（a）的形式，求函数的最值即可．

【解答】解：设公共点为，，且．

所以，由②得，

解得或（舍．

将代入①式整理得：，

令（a），，

，

令（a）得，，且时，（a）．

故（a）在上递增，在上递减．

故（a）．故的最大值为．

故选：．

【名师指导】

解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.