2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.7　抛物线(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.7　抛物线(学生版+解析)，共21页。

知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( )
教材改编题
1．抛物线x2＝eq \f(1,4)y的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,16) B．x＝－eq \f(1,16)
C．y＝eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,16)
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
听课记录：_____________________________________________________________________
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思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq \f(11,4)，则m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
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(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
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思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)x B．y2＝9x
C．y2＝eq \f(9,2)x D．y2＝3x
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq \r(2)，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－eq \f(1,2) B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的有________．(填序号)
①p＝4；②eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))；
③|BD|＝2|BF|；④|BF|＝4.
听课记录：____________________________________________________________________
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思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，则|FN|＝________.标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率
e＝____________
§9.7 抛物线
考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( √ )
教材改编题
1．抛物线x2＝eq \f(1,4)y的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,16) B．x＝－eq \f(1,16)
C．y＝eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,16)
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq \f(1,16).
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析 由题意可得|MF|＝xM＋eq \f(p,2)，
则3＋eq \f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，
则由抛物线的定义可知|AF|＝eq \f(y\\al(2,0),4)＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得eq \f(y\\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝eq \r(1－32＋2－02)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝eq \r(22＋22)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
答案 42或22
解析 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
① ②
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))2)＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq \f(11,4)，则m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－eq \f(1,4m)，
根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－eq \f(1,4m)的距离，
可得2＋eq \f(1,4m)＝eq \f(11,4)，解得m＝eq \f(1,3).
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
答案 eq \r(34)－4
解析 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，
抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，
因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，
所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，
如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即eq \r(－3－22＋3－02)－2－2＝eq \r(34)－4，
所以d1＋d2的最小值为eq \r(34)－4.
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．
又eq \f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
则2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4).
∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)x
B．y2＝9x
C．y2＝eq \f(9,2)x
D．y2＝3x
答案 D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，
∴p＝eq \f(3,2)，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq \r(2)，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－eq \f(1,2) B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4eq \r(p)，不妨令P(8,4eq \r(p))，
则S△OFP＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×4eq \r(p)＝peq \r(p)＝2eq \r(2)，解得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
答案 D
解析 由题意得，F为△ABC的重心，
故eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，
∴F(2,0)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝(2－x1，－y1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(x3－x1，y3－y1)，
∵eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴2－x1＝eq \f(1,3)(x2－x1＋x3－x1)，
∴x1＋x2＋x3＝6，
∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＋|eq \(BF,\s\up6(→))|＋|eq \(CF,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋6＝12.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的有________．(填序号)
①p＝4；
②eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))；
③|BD|＝2|BF|；
④|BF|＝4.
答案 ①②③
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故①正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故②正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故③正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故④错误．
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得
|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，
解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，则|FN|＝________.
答案 16
解析 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
AF∥MB∥NC，则eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(|BM|－|CN|,|OF|)，
由3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，
得eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(3,5)，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以eq \f(|BM|－4,4)＝eq \f(3,5)，|BM|＝eq \f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq \f(32,5)，eq \f(|MF|,|NF|)＝eq \f(2,5)，
所以|FN|＝16.
课时精练
1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－eq \f(3,2)x的准线方程为( )
A．x＝eq \f(3,8) B．x＝－eq \f(3,8)
C．y＝eq \f(3,8) D．y＝－eq \f(3,8)
答案 A
解析 y2＝－eq \f(3,2)x的准线方程为x＝eq \f(3,8).
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 由题可知，抛物线准线为y＝－eq \f(p,2)，可得1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
答案 B
解析 过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，
因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案 B
解析 由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
则yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝8x1－8x2，
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．
6．(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
①C的准线方程为x＝eq \f(\r(2),4)；
②b＝eq \r(2)；
③eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2；
④eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(16\r(2),15).
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 因为点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))故②正确；
则抛物线C：y2＝eq \r(2)x，
抛物线C的准线方程为x＝－eq \f(\r(2),4)，故①错误；
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq \r(2)，eq \r(2))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＋1×eq \r(2)＝1＋eq \r(2)，故③错误；
抛物线C的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，0))，
则|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq \f(3\r(2),4)，
|BF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)＝eq \f(5\r(2),4)，
则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(2\r(2),5)＝eq \f(16\r(2),15)，故④正确．
7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
答案 2eq \r(6)
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2eq \r(6)米．
8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
答案 5 4eq \r(5)
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，
故p＝2且F(1,0)，
因为|FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，
解得xM＝5，
故yM＝±2eq \r(5)，
所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解 (1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝eq \f(－22,4)＝1，M坐标为(－2,1)．
又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
解 (1)由1＋eq \f(p,2)＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋eq \f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
即eq \f(\f(x\\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq \f(\f(x\\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝4.
11．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
答案 y2＝4x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
12．(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则
①y1y2＝－1；
②|AB|＝eq \f(25,16)；
③BP平分∠ABQ；
④延长AO交直线x＝－eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线．
其中正确的结论是________．(填序号)
答案 ②③④
解析 设抛物线r的焦点为F，如图所示，
则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))，
且l1∥x轴，
故A(1,1)，
故直线AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0，
故y1y2＝－eq \f(1,4)，故①错误；
又y1＝1，所以y2＝－eq \f(1,4)，
故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，
故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，故②正确；
因为|AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
故BP平分∠ABQ，故③正确；
易知点B，Q在直线l2上，
直线AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝－\f(1,4)，))
可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，
所以C，B，Q三点共线，故④正确．
13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4 B．2 C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 设P(x，y)，则yC＝y，
∵lOB：y＝eq \f(2,3)x，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，y))，
∴E(0，y)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，6))，
∵FC∥y轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴eq \f(EP,CP)＝eq \f(OE,FC)，
∴eq \f(x,\f(3,2)y－x)＝eq \f(y,6－y)，即y2＝4x，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．
设Q(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝4x0，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1,0)，
∴cs∠OAQ＝eq \f(\(AO,\s\up6(→))·\(AQ,\s\up6(→)),|\(AO,\s\up6(→))|·|\(AQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(1－x0,\r(x0－12＋y\\al(2,0))·1)＝eq \f(1－x0,x0＋1)＝－eq \f(1,2)，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋eq \f(p,2)＝3＋1＝4.
14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则eq \f(|MN|,|AB|)的值是________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝eq \f(3a,2)，
又|AB|＝eq \r(b2－a2)＝eq \r(3)a，
故eq \f(|MN|,|AB|)＝eq \f(\f(3a,2),\r(3)a)＝eq \f(\r(3),2).
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1