新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第9讲离散型随机变量的分布列、均值与方差（含解析）

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一 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量．
二 离散型随机变量的分布列及性质
1．概念：一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如下表)，还可以用图形表示.
2.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)eq \(∑,\s\up16(n),\s\d14(i＝1))pi＝1.
三 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
四 均值与方差的性质
1．E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常/用/结/论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
如何推导呢？D(X)＝eq \i\su(i＝1,n, )(Xi－E(X))2pi＝eq \i\su(i＝1,n,X)eq \\al(2,i)pi－2E(X)eq \i\su(i＝1,n,x)ipi＋eq \i\su(i＝1,n,E)2(X)pi＝E(X2)－2E2(X)＋E2(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()
(3)若随机变量X的分布列如下，则X服从两点分布.
()
(4)随机变量的方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小．(√)
2．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A．eq \f(7,3) B．4
C．－1 D．1
解析：E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
答案：A
3．(2024·重庆八中月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝( )
A．0 B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
解析：设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq \f(2,3)，故P(ξ＝0)＝1－p＝eq \f(1,3).
答案：B
4．若离散型随机变量X的分布列为
则X的方差D(X)＝________.
解析：由eq \f(a,2)＋eq \f(a2,2)＝1，
得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
则D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
题型 随机变量的概念
典例1写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示的意义．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为
可用有序数对来表示．
X，所得点数的最大值为Y.
解：(1)X可取0,1,2.
X＝0表示所取的三个球没有白球；
X＝1表示所取的三个球是1个白球，2个黑球；
X＝2表示所取的三个球是2个白球，1个黑球．
(2)X的可能取值为2,3，…，12，Y的可能取值为1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚均匀的骰子出现的点数，则
X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
……
X＝12表示(6,6)．
Y＝1表示(1,1)；
Y＝2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；
Y＝3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；
……
Y＝6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.
对点练1(1)抛掷两枚均匀的骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
(2)袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次不放回地任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，设所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…
解析：(2)红球有6个，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B．
答案：(1)D (2)B
题型 离散型随机变量的分布列
典例2(1)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a
由概率和为1可求出a＝eq \f(5,4).
为常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)