新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第11讲正态分布（含解析）

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正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量X的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量X的分布越分散．
3．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
常/用/结/论
正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝u，D(X)＝σ2.
1．判断下列结论是否正确．
(1)正态分布是对连续型随机变量而言的．(√)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()
(3)正态曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数．()
(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(√)
2．正态密度函数f(x)＝eq \f(1,\r( ,2π)σ)e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) (μ2.5)＝P(X>2)－P(20.95，
所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩的及格率超过95%.
所以A，B，D正确，C错误．故选ABD．
(2)由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选D．
答案：(1)ABD (2)D
题型 服从正态分布的概率计算
典例2 (1)(2024·陕西西安模拟)陕西洛川苹果享誉国内外，据统计，陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位：mm)服从正态分布N(70,52)，则直径在(80,85]内的概率为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
A．0.021 4 B．0.043 0
C．0.818 5 D．0.682 6
(2)(2024·福建泉州质量监测)设随机变量X～N(72，σ2)，若P(70