新高考数学一轮复习考点分类提升 第52讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称分布列.
(2)性质：①；②.
3.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为：
(1)均值：称为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差：称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
(3)性质：①；②为常数).
4.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义，
如果，则，那么X的分布列如下表所示.
我们称X服从两点分布或分布.
考点一：利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
例1．随机变量满足，且，则与的值分别为（ ）
A．B．3，4C．4，3D．
例2．已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A．B．C．D．
例3．设一组数据的方差为0.1，则数据，，，…，的方差为（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.4D．2
例4．若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（ ）
A．3,1B．11,1C．D．
例5．随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．1B．4C．D．
考点二：根据步骤列出离散型随机变量的分布列
例6．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（ ）
A．B．C．D．
例7．一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的概率分别是，和.
(1)求小明闯到第三关的概率.
(2)记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量，求的分布列及数学期望.
例8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
考点三：利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
例9．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表
如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
例10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
例11．（2022·新疆乌鲁木齐·统考二模）元宵节学校开展了丰富多彩的游乐活动，高三（1）班除了有猜灯谜有奖活动，另外还设置了一项“买信封”活动，规则如下；一个抽屉中装有5个信封，其中有1个信封里装有5元钱，2个信封里装有2元钱，2个信封里装有1元钱，某人口袋里有5元钱，最多可以买2个信封（每个信封卖2元钱）.
(1)求此人买的第2个信封里装有5元钱的概率；
(2)问此人是买一个信封好，还是买两个信封好?（以此人最终口袋里的钱数的平均值为依据）.
一、单选题
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ）
A．B．C．D．
2．随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A．B．C．D．
4．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记为取得红球的个数，则其期望（ ）
A．1B．C．2D．3
5．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．已知两随机变量X，Y满足，若，则__________．
7．若样本数据，，…，的方差为100，则数据，，…，的方差为________.
8．已知样本､､､…､的平均数与方差分别是1和4，且样本､､､…､的平均数与方差分别是1和16，则___________.
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列.
10．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于，求，．
11．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）
12．某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知甲能正确作答其中个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为，乙答对题的个数为.
(1)求甲、乙恰好答对个问题的概率；
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.
13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.
(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；
(2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望.
14．（2023·广东汕头·统考三模）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少?
(2)如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次?
说明：，先减后增
15．（2023·广东广州·统考模拟预测）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．

(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
16．（2023·山西大同·统考模拟预测）国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
附：
参考公式：，其中．
17．（2023·河南郑州·校考模拟预测）无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
p
考点一
利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
考点二
根据步骤列出离散型随机变量的分布列
考点三
利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
1
2
甲
乙
丙
丁
平均成绩x/环
9.0
8.9
8.6
9.0
方差
2.8
2.9
2.8
3.5
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1
0.8858
0.8681
0.8508
0.8337
保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
70
30
100
女性
40
60
100
合计
110
90
200
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
卖场
1
2
3
4
5
6
宣传费用
2
3
5
6
8
12
销售额
30
34
40
45
50
60