2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第十一章第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第十一章第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差学案，共12页。

第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[多选题]下列结论正确的选项是 (　　)
A.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B.随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量
C.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小
D.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事
2.[2020菏泽联考]一盒中有12个乒乓球,其中9个新球、3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　)
A.1220 B.2755 C.27220 D.2155
3.[2019浙江高考]设0 X
0
a
1
P
13
13
13
则当a在(0,1)内增大时,(　　)
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
4.[2020湖北宜昌模拟]设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为(　　)
A.1 B.12 C.13 D.15
5.[2020浙江重点高中联考]已知0 X
- 1
0
1
P
(1 - a)2
2a(1 - a)
a2
若E(X)=D(X),则实数a的值为(　　)
A.13 B.14 C.12 D.22
6.[双空题]已知离散型随机变量ξ~B(5,p),且E(ξ)=2,则D(ξ)=　　　　;若η=12ξ+1,则D(η)=　　　　. 
7.[交汇题]已知随机变量X的分布列如下表所示,且14,p,q成等差数列,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　. 
X
- 1
0
1
P
14
p
q
8.[2019北京延庆区调研]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1

Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是　　　　. 

考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差
1[2019辽宁五校联考]某商场销售某种品牌的空调,每周周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则多余的每台空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元.
(1)若该商场周初购进20台空调,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,n∈N)的函数解析式f (n);
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理得下表:
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.
(1)根据每周销量,以20台为分界点,列出分段函数解析式.(2)分别求出当周的利润X取各个值时的概率,即可写出X的分布列,再利用数学期望的定义,即可求X的数学期望.
(1)当n≥20时,f (n)=500×20+200×(n - 20)=200n+6 000;
当n≤19时,f (n)=500×n - 100×(20 - n)=600n - 2 000.
∴f (n)=200n+6 000(n≥20),600n-2 000(n≤19)(n∈N).
(2)由(1)得f (18)=8 800,f (19)=9 400,
f (20)=10 000,f (21)=10 200,f (22)=10 400,
∴P(X=8 800)=0.1,P(X=9 400)=0.2,P(X=10 000)=0.3,P(X=10 200)=0.3,P(X=10 400)=0.1,
X的分布列为
X
8 800
9 400
10 000
10 200
10 400
P
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
(注意检验概率和是否为1)
∴E(X)=8 800×0.1+9 400×0.2+10 000×0.3+10 200×0.3+10 400×0.1=9 860.
(利用数学期望的定义求解)
1.[2019北京高考]改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
　　 　　支付金额/元
支付方式　　　　
(0,1 000]
(1 000,2 000]
大于2 000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望.
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.





考法2 超几何分布的求解
2 [2018天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
(1)先求出三个部门的人数之比,然后利用分层抽样的定义求出应抽取三个部门的员工人数;(2)(i)先根据超几何分布的定义列出X的分布列,然后求其数学期望;(ii)先将“既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”分解为简单互斥事件的和,然后结合(i)求其概率值.
(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=C4k·C33-kC73(k=0,1,2,3).
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435

解法一　随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.
解法二　因为随机变量X服从超几何分布H(7,4,3),
所以E(X)=3×47=127.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.
所以事件A发生的概率为67.
2.[2020湖北部分重点中学模拟]为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性,将它们各自量化为1,2,3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养,若w≥7,则数学核心素养为一级;若5≤w≤6,则数学核心素养为二级;若3≤w≤4,则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下数据:
学生编号
A1
A2
A3
A4
A5
(x,y,z)
(2,2,3)
(3,2,3)
(3,3,3)
(1,2,2)
(2,3,2)
学生编号
A6
A7
A8
A9
A10
(x,y,z)
(2,3,3)
(2,2,2)
(2,3,3)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1)从这10名学生中任取2人,求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率;
(2)从这10名学生中任取3人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及数学期望.





考法3 利用期望与方差进行决策
3[2016全国卷Ⅰ,]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图11 - 3 - 1所示的柱状图:

图11 - 3 - 1
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
(1)由柱状图得频率,分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值,再比较选择哪一个较好.
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.
当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
3.[2020惠州高三第一次调研]某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案.
方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2 000元;
方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1 000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金与维修费用的和的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
381












1.ABC　由离散型随机变量的分布列的特点可知A正确;由均值和方差的含义可知BC正确;均值反映的是一组数据的整体水平,而方差反映的是一组数据的离散程度,故D错误.故选ABC.
2.C　当X=4时,表示从盒中取出的3个球中有2个旧球,1个新球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.故选C.
3.D　 由分布列得E(X)=1+a3.
解法一　D(X)=(1+a3- 0)2×13+(1+a3- a)2×13+(1+a3- 1)2×13=29(a- 12)2+16,
所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.
解法二　D(X)=E(X2)- [E(X)]2=0+a23+13-(a+1)29=2a2- 2a+29=29[(a- 12)2+34],
所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.
【方法总结】　先求期望,将方差表示为关于a的二次函数,再利用二次函数在给定区间的单调性,判断方差取值的增减性.
4.C　设该项试验失败的概率为p,则成功的概率为2p,所以X的分布列为

X
0
1
P
p
2p

由p+2p=1,得p=13,即P(X=0)=13.故选C.
5.D　解法一　由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式知,E(X)=- (1- a)2+a2=2a- 1,D(X)=(- 1- 2a+1)2(1- a)2+(- 2a+1)2×2a(1- a)+(1- 2a+1)2a2=2a(1- a).因为E(X)=D(X),所以2a- 1=2a(1- a),得a=22,故选D.
解法二　令Y=X+1,则X=Y- 1,随机变量Y的分布列为
Y
0
1
2
P
(1- a)2
2a(1- a)
a2
由二项分布的有关知识知,Y~B(2,a),
所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(1- a),
所以E(X)=E(Y- 1)=E(Y)- 1=2a- 1,D(X)=D(Y- 1)=D(Y)=2a(1- a).
又E(X)=D(X),所以2a- 1=2a(1- a),得a=22,故选D.
6.65　310　因为ξ~B(5,p),E(ξ)=2,所以5p=2,解得p=25,
所以D(ξ)=5p(1- p)=5×25×(1- 25)=65.又η=12ξ+1,
所以D(η)=D(12ξ+1)=14D(ξ)=310.
7.16　2336　由分布列的性质及等差数列的性质知,14+p+q=1,2p=14+q,解得p=13,q=512,
所以E(X)=- 14+512=16,D(X)=(- 1- 16)2×14+(0- 16)2×13+(1- 16)2×512=2336.
8.乙　E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,
E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,
所以E(Y)
1.(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30(人),仅使用B的学生有10+14+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100- 30- 25- 5=40(人).
所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.
(2)X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.
由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6,
所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,
P(X=1)=P(CD∪CD)
=P(C)P(D)+P(C)P(D)
=0.4×(1- 0.6)+(1- 0.4)×0.6
=0.52,
P(X=0)=P(C D)=P(C)P(D)=0.24.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=14 060.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.
2.(1)


A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
x
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
y
2
2
3
2
3
3
2
3
1
2
z
3
3
3
2
2
3
2
3
1
2
w
7
8
9
5
7
8
6
8
4
6
由题意可知,数学核心素养为三级的学生是A9;数学核心素养为二级的学生是A4,A7,A10;数学核心素养为一级的学生是A1,A2,A3,A5,A6,A8.
记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A,记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B,
则P(B|A)=P(AB)P(A)=C32+C22C42+C52=416=14.
(2)由题意可知,数学核心素养为一级的学生为A1,A2,A3,A5,A6,A8,非一级的学生为余下4人,
∴X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C60C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P(X=2)=C62C41C103=12,P(X=3)=C63C40C103=16,
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
∴E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.
【易错警示】　本题易错点是混淆超几何分布与二项分布,两种分布的本质差别在于“有放回”与“无放回”,“有放回”是二项分布,“无放回”是超几何分布.
3.(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X=0)=110×110=1100,P(X=1)=110×15×2=125,
P(X=2)=15×15+25×110×2=325,P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150,P(X=4)=25×25+310×15×2=725,
P(X=5)=25×310×2=625,P(X=6)=310×310=9100,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
1100
125
325
1150
725
625
9100
(2)选择延保方案一,所需延保金与维修费用的和Y1(单位:元)的分布列为
Y1
7 000
9 000
11 000
13 000
15 000
P
17100
1150
725
625
9100
E(Y1)=17100×7 000+1150×9 000+725×11 000+625×13 000+9100×15 000=10 720.
选择延保方案二,所需延保金与维修费用的和Y2(单位:元)的分布列为
Y2
10 000
11 000
12 000
P
67100
625
9100
E(Y2)=67100×10 000+625×11 000+9100×12 000=10 420.
∵E(Y1)>E(Y2),∴该医院选择延保方案二更合算.