新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第8讲事件的相互独立性与条件概率（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第8讲事件的相互独立性与条件概率（含解析），共10页。

一 相互独立事件
1．概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
二 条件概率
1．概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．两个公式
(1)利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；
(2)概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
三 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
常/用/结/论
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()
(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)
(4)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(√)
2．(2024·河北廊坊模拟)若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
解析：∵P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,9)≠0，∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C．
答案：C
3．(2024·四川成都七中月考)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )
A．0.155 B．0.175
C．0.016 D．0.096
解析：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.
设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.
由全概率公式，得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
答案：B
4．从1～100共100个正整数中，任取一个数，已知取出的这个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．
解析：设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”，则P(C)＝eq \f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq \f(PAC,PC)＋eq \f(PBC,PC)－eq \f(PABC,PC)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq \f(33,50).
答案：eq \f(33,50)
题型 相互独立事件的概率
典例1(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0