新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第10讲二项分布与超几何分布（含解析）

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一 二项分布
1．伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0eq \f(1,1－3lg 2)，又eq \f(1,1－3lg 2)≈10.3，n∈N*，∴至少需要布置11门高炮．
答案：11
题型 n重伯努利试验
典例1(1)(2024·河北保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为eq \f(1,2)，乙每次击中目标的概率为eq \f(2,3)，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________．
分三类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(①甲击中1次，乙击中0次；,②甲击中2次，乙击中1次；,③甲击中3次，乙击中2次.))
(2)一袋中装有5个白球，3个红球，则从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X表示取球的次数，则P(X＝12)＝________
则X＝12时表示前11次中9次取红球，第12次取红球．
(填表达式)．
解析：(1)事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＋Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)×Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(11,72).故答案为eq \f(11,72).
(2)每一次取球取到红球的概率为eq \f(3,8)，取到白球的概率为eq \f(5,8)，前11次取球是11次独立重复试验，“取到红球”的事件发生9次，其概率是Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2.第12次取到红球的概率是eq \f(3,8)，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，得P(X＝12)＝Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \f(3,8)＝Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10.
故答案为Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10.
在n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k.计算时，要先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练1(2024·江西重点中学协作体联考)我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜．现有甲、乙两人对弈，其中甲、乙击中对方并射入对方圆洞的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3).甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率是( )
A．eq \f(2,81) B．eq \f(5,162) C．eq \f(10,81) D．eq \f(25,162)
解析：因为甲执先手，双方共击9次后游戏结束，所以一定甲获胜，且最后1次甲击中，前8次甲击中3次，乙至多击中3次，故所求概率P＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4))＝eq \f(10,81).故选C．
答案：C
题型 二项分布
典例2(2024·湖南长沙一中等校测试)甲、乙两家公司招聘高级软件工程师，应聘程序都是应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过项数越多，聘用可能性越大，程序员小明准备应聘这两家公司．已知小明应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为eq \f(2,3)；小明应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为eq \f(5,6)，eq \f(2,3)，m，其中02，故eq \f(1,2)E(X)．
ξ
0
1
2
P
eq \f(22,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
Y
0
1
2
3
P
eq \f(1,18)－eq \f(1,18)m
eq \f(7,18)－eq \f(1,3)m
eq \f(5,9)－eq \f(1,6)m
eq \f(5,9)m
疼痛
指数X
X≤10
10