新高考数学一轮复习考点讲义：第10章第6讲随机事件的概率（含解析）

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一 样本空间和随机事件
1．样本点和有限样本空间
(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
(2)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件
(1)定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
(2)表示：大写字母A，B，C，….
(3)随机事件的极端事件：必然事件、不可能事件．
二 事件的关系与运算
三 频率与概率
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
常/用/结/论
1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
1．判断下列结论是否正确．
(1)必然事件一定发生．(√)
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)
(3)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．()
(4)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．()
2．一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )
A．A1与A2
B．A1与A3
C．A2与A3
D．以上都不对
解析：射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2互斥且对立，A不正确；事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3互斥而不对立，B正确；事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确．
答案：B
3．(2024·河北邢台第二中学期末)如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )
A．0.504 B．0.994
C．0.996 D．0.964
解析：由题意知，所求概率为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.8)＝1－0.004＝0.996.故选C．
答案：C
4．一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个球，若取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个同颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率P＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事件B是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
答案：eq \f(8,15) eq \f(14,15)
题型 有限样本空间与随机事件
典例1(1)同时掷两颗骰子一次，
①“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
②“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？
③“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
(2)从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
①写出这个试验的样本空间．
每个样本点可用有序数对表示．
②下列随机事件由哪些样本点构成：
事件A：取出的两件产品都是正品；事件B：取出的两件产品恰有1件次品．
解：(1)由题意知，样本空间中有36个样本点．
6×6
①由于点数最大是6，和最大是12，点数之和不可能是13，因此此事件不包含任何样本点，是不可能事件，其概率为0.
②由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，此事件包含所有样本点，它是必然事件，其概率为1.
③由②知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数之和是7”包含的样本点有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，因此其概率为P＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).
(2)①该试验的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
②事件A＝{(a1，a2)，(a2，a1)}，包含2个样本点．
事件B＝{(a1，b1)，(b1，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)}，包含4个样本点．
解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练1(1)一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，
①“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？
②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？
③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：
①试验的样本空间；
②事件“点数之和大于8”包含的样本点；
③事件“点数相等”包含的样本点；
④事件“点数之和大于10”包含的样本点．
解：(1)①由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.
②由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是eq \f(3,8).
③由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.
(2)①这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
②事件“点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
③事件“点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
④事件“点数之和大于10”包含以下3个样本点：(5,6)，(6,5)，(6,6)．
题型 随机事件间的关系
典例2(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则
分两类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(一弹击中，,两弹击中.))
下列关系正确的是( )
A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
(2)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件
分清“至多”“至少”所包含的情况至关重要．
D为“两个黑匣子都研究”．则( )
A．A与C是互斥事件
B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件
D．C与D是互斥事件
解析：(1)“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没击中或第一枚没击中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．故选BC．
(2)事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D．
1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
对点练2(1)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
(2)从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“全是次品”．
(1)解析：对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．
答案：D
(2)解：从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．
①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．
②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．
题型 概率的基本性质
典例3(2024·辽宁大连高二期末)设A，B是两个事件，以下说法正确的是( )
A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B对立
B．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B互斥
C．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事件A与事件B互斥
D．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立
解析：对于A，B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现1点或2点或3点”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(A)＋P(B)＝1，但事件A，B既不互斥也不对立，故A，
通过举反例理解二者关系．
B错误；对于C，在不同的试验下，即使P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，也不能说明事件A与事件B一定互斥，故C错误；根据相互独立事件
注意问题分析的切入点：不同的试验下．
的定义可知，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故D正确．故选D．
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练3(1)某工厂生产了一批雪车，这批产品按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一台雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．
(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
①1张奖券的中奖概率；
②1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
(1)解析：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A，B，C，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PA＋PB＝0.93，,PA＋PC＝0.85，,PA＋PB＋PC＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PA＝0.78，,PB＝0.15，,PC＝0.07，))所以抽到一等品的概率为0.78.
答案：0.78
(2)解：①设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C．
∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1张奖券中奖的概率为eq \f(61,1 000).
②设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(10,1 000)))＝eq \f(989,1 000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
题型 随机事件的频率与概率
典例4(2017·全国Ⅲ卷，文)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；由频数分布表直接计算频率，再用频率估计概率．
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)当最高气温低于25 ℃时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶．由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
这一天的利润取决于需求量，而需求量与当天最高气温有关，因此按当天最高气温分段研究．
若当天最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若当天最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若当天最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
当最高气温不低于20 ℃时，Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此估计Y大于零的概率为0.8.
随机事件的频率与概率的解题策略
(1)随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率，因此，利用频率估计概率也成为近几年高考的命题热点．
(2)补全或列出频率分布表，可直接依据已知条件，逐一计算，写出频率．
(3)由频率估计概率，可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
对点练4某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
名称
定义
符号表示
包含
关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立
事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
上年度
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05