新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.8概率、统计与其他知识的交汇问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.8概率、统计与其他知识的交汇问题（含答案解析），共6页。
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．
①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；
②若E(Xi)>100，求i的最小值．
2．(2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为eq \f(1,8)，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
§10.8 概率、统计与其他知识的交汇问题
1．解 (1)记甲前3次答题得分之和为40分为事件A，
则事件A是甲前3次答题中仅答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为
P(A)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＝eq \f(9,64).
(2)①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，
则E(X1)＝20×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(35,2)，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为eq \f(3,4)×eq \f(3,4)，eq \f(1,4)×eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，
则E(X2)＝40×eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋20×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(115,4)，
显然E(X2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20×\f(3,4)＋10×\f(1,4)))
×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)E(X1)＋eq \f(5,2)，
i∈N*，i≥2，甲第(i－1)次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，
因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)E(Xi－1)＋eq \f(5,2)，
所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是
E(Xi)＝eq \f(3,2)E(Xi－1)＋eq \f(5,2)，i∈N*，
i≥2，且E(X1)＝eq \f(35,2).
②由①知，E(X1)＝eq \f(35,2)，
当i∈N*，i≥2时，E(Xi)＋5＝eq \f(3,2)[E(Xi－1)＋5]，
而E(X1)＋5＝eq \f(45,2)，
因此数列{E(Xi)＋5}是以eq \f(45,2)为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列，
E(Xi)＋5＝eq \f(45,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i－1＝15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i，
于是E(Xi)＝15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i－5，
由15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i－5>100得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i>7，
显然数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))i))是递增数列，
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))4＝eq \f(81,16)7，
则有正整数imin＝5，
所以i的最小值是5.
2．解 (1)设样本平均数的估计值为eq \x\t(x)，
则eq \x\t(x)＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62，
所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝62，σ≈14.
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，
所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
所以估计能参加复试的人数为
0．022 75×8 000＝182.
(3)由该学生获一等奖的概率为eq \f(1,8)可知，a2b＝eq \f(1,8)，
则P＝a2(1－b)＋Ceq \\al(1,2)a(1－a)b＝a2＋2ab－eq \f(3,8)＝a2＋eq \f(1,4a)－eq \f(3,8).
令P＝f(a)＝a2＋eq \f(1,4a)－eq \f(3,8)，0