新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.7概率与统计的综合问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.7概率与统计的综合问题（含答案解析），共6页。
1．(2023·泰州模拟)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为eq \f(2,3)，女生进球的概率为eq \f(1,2)，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
2．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若x(2015年记为x＝1,2016年记为x＝2，依此类推)与发展总指数y存在线性关系．
(1)求x与发展总指数y的经验回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示记分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式和数据：经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝228.9，eq \x\t(y)＝119.05.
3．(2023·南京模拟)渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3 m．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图(如图)．
根据海浪高度将海浪划分为如下等级：
海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业．
(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；
(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为eq \f(1,2)，“中浪”的概率为eq \f(1,2)；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为eq \f(1,3)，“中浪”的概率为eq \f(2,3).现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望．
4．(2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型H1N1流感病毒(甲流)和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占eq \f(2,3)，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．
(1)若根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？
(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)．
§10.7 概率与统计的综合问题
1．解 (1)2×2列联表如下：
零假设为H0：该校学生喜欢足球与性别无关．
由表中数据得
χ2＝eq \f(200×60×70－40×302,100×100×90×110)
≈18.182>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验可知零假设不成立，即该校学生喜欢足球与性别有关，且此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,18)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(5,18)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(4,9)，
P(ξ＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,18)＋1×eq \f(5,18)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(2,9)＝eq \f(11,6).
2．解 (1)由已知
eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8,8)＝4.5，
所以eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，
又eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝228.9，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,8, )xi－\x\t(x)2)＝5.45，
因为eq \x\t(y)＝119.05，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝94.525，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝5.45x＋94.525.
(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个，
X的所有可能取值为3,4,5，
所以P(X＝3)＝eq \f(1,C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
所以X的分布列为
E(X)＝3×eq \f(1,10)＋4×eq \f(3,5)＋5×eq \f(3,10)＝eq \f(21,5).
3．解 (1)记这天浪级是“微浪”为事件A1，浪级是“小浪”为事件A2，浪级是“中浪”为事件A3，浪级是“大浪”为事件A4.该渔船当天出海作业为事件B，
则由题意可知，
P(A1)＝50×0.004＝0.2，
P(A2)＝50×0.006＝0.3，
P(A3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，
P(A4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，
∴P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)
＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，
∴P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(10,27)，
P(X＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,12)，
则X的分布列为
数学期望E(X)＝0×eq \f(8,27)＋1×eq \f(10,27)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,12)＝eq \f(121,108).
4．解 (1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，
感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为eq \f(2,3)x，
由题意必有χ2≥7.879，
即eq \f(3x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x·\f(1,3)x－\f(2,3)x·\f(4,3)x))2,\f(4,3)x·\f(5,3)x·x·2x)≥7.879，所以x≥26.26，
又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．
(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p