新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.4平面向量中的综合问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第5章5.4平面向量中的综合问题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积S等于( )
A.eq \f(5,2) B．5 C．10 D．20
2．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则eq \(MD,\s\up6(→))·eq \(MC,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(7,4) C．－eq \f(9,4) D．－eq \f(5,4)
3．(2023·绵阳模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．3
4．(2023·上饶模拟)如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(3,4)
5．(2024·沈阳模拟)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥eq \f(\r(3),2)恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
二、多项选择题
6．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有( )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则点D是边BC的中点
B．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，则直线AD过△ABC的垂心
C．若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点D在边BC的延长线上
D．若eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△BCD是△ABC面积的一半
7.(2024·六安模拟)正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，则( )
A．μ最大值为1
B．λ最大值为2
C.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))最大值是8
D.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))最大值是8＋4eq \r(5)
三、填空题
8．已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________．
9．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
10．(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________．
§5.4 平面向量中的综合问题
1．B 2.C 3.B
4．B [由题意可得，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－|eq \(OA,\s\up6(→))|2＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1，
为使eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))最小，只需|eq \(PO,\s\up6(→))|最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点，
又EF＝1，
因此|eq \(PO,\s\up6(→))|min＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为－eq \f(1,4).]
5．B [已知a，b是单位向量，
由|xa＋b|≥eq \f(\r(3),2)，
得(xa＋b)2≥eq \f(3,4)，
则x2＋2(a·b)x＋eq \f(1,4)≥0，
依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋eq \f(1,4)≥0对任意实数x恒成立，
则Δ＝4(a·b)2－1≤0，
解得－eq \f(1,2)≤a·b≤eq \f(1,2)，
而cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝a·b，
则－eq \f(1,2)≤cs〈a，b〉≤eq \f(1,2)，
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cs x在[0，π]上单调递减，
所以eq \f(π,3)≤〈a，b〉≤eq \f(2π,3)，
所以向量a，b的夹角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))).]
6．ABD [对于A，
∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
即eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，即eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝
eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝eq \f(1,3)(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)＝0，
即AD⊥BC，故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
且x＋y＝eq \f(1,2)，设eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，
且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，
且|eq \(AM,\s\up6(→))|＝2|eq \(AD,\s\up6(→))|，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确．]
7．ACD [如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈[0，π]，
又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，
D(－2,4)，C(2,4)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝(2cs θ＋2,2sin θ)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,4)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(4,2)，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，
即(2cs θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs θ＋2＝4μ，,2sin θ＝4λ＋2μ，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ＝\f(cs θ＋1,2)，,λ＝\f(2sin θ－cs θ－1,4)，))
∵θ∈[0，π]，
则－1≤cs θ≤1,0≤sin θ≤1，
∴μ＝eq \f(cs θ＋1,2)∈[0,1]，
λ＝eq \f(2sin θ－cs θ－1,4)＝eq \f(\r(5)sinθ－φ－1,4)，
其中sin φ＝eq \f(1,\r(5))，cs φ＝eq \f(2,\r(5))，φ为锐角，
当sin(θ－φ)＝1，即θ＝eq \f(π,2)＋φ时，
λ取最大值eq \f(\r(5)－1,4)，故A正确，B错误；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(2cs θ＋2,2sin θ)·(0,4)＝8sin θ∈[0,8]，故C正确；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(2cs θ＋2,2sin θ)·(4,2)＝4sin θ＋8cs θ＋8＝4eq \r(5)sin(θ＋α)＋8，
其中sin α＝eq \f(2,\r(5))，cs α＝eq \f(1,\r(5))，α为锐角，
当sin(θ＋α)＝1，即θ＝eq \f(π,2)－α时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))取最大值8＋4eq \r(5)，故D正确．]
8．3
9.eq \f(1,16)
解析 ∵λ，μ为正实数，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，
故eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋4μeq \(AD,\s\up6(→))，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝eq \f(1,4)·λ·4μ≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ＋4μ,2)))2＝eq \f(1,16)，当且仅当λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,8)时取等号，
故λμ的最大值为eq \f(1,16).
10．2eq \r(3)
解析 ∵a·b＝|a|＝|b|＝2，
设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cs θ＝2×2×cs θ＝2，∴cs θ＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，则θ＝eq \f(π,3)，
不妨设a＝(2,0)，b＝(1，eq \r(3))，
再设e＝(cs α，sin α)，
则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|
＝|(3，eq \r(3))·(cs α，sin α)|
＝|3cs α＋eq \r(3)sin α|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))≤2eq \r(3)，
即|a·e＋b·e|≤2eq \r(3)，
∴|a·e＋b·e|的最大值为2eq \r(3).