新高考数学二轮复习函数专题突破练习专题08 函数的周期性（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习函数专题突破练习专题08 函数的周期性（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则
，
所以符合条件，因此的周期，，
且，所以，
由于22除以6余4，所以．故选：A．
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选：B.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
，
所以．
[方法二]：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
考点一 周期函数的定义与求解
一、单选题
1．已知定义在上的函数满足当时当时则（ ）
A．809B．811C．1011D．1013
【解析】由可知周期为5，
所以一个周期的和为：
，所以故选：A.
2．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．－2B．2C．－98D．98
【解析】由，可得，
所以是以4为周期的周期函数，可得，
因为在R上是奇函数，则，
又因为当时，，则.故选：A.
3．设是定义域为的奇函数，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】为上的奇函数，，
，
是周期为的周期函数，.故选：C.
4．函数定义域为，且是（ ）
A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数
【解析】依题意，，，
，所以是偶函数.
，
所以是周期为的周期函数.所以A选项正确.故选：A
5．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的周期为3B．
C． D．
【解析】因为为奇函数，所以，
将代换为可得，，取可得，，取可得，，
又，所以，因为为偶函数，所以，
将代换为可得，，又，所以，
将代换为可得，，所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
由取可得，又，所以，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为，，所以函数不是周期为3的函数，A错误；故选：D.
6．已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．1
【解析】因为，所以，
则，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，则.故选：D.
7．已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，
又由可得，，
所以有，则，所以，
所以是周期函数，周期.又，所以，
又，，所以.故选：D.
二、多选题
8．已知是定义在R上的奇函数，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．
C．，
D．的值可能为2
【解析】由题得，所以函数的周期为4，A选项错误．
是定义在R上的奇函数，，，，，，
，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项正确.
故选：BCD
9．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；
因为关于直线对称，即，所以，
所以函数的周期，故B项错误；
，故C项错误；
，所以是奇函数，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
10．函数，满足，当，，则______.
【解析】因为满足，所以的周期为，.
11．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为_____．
【解析】由题得-f(x), 所以，
所以函数的周期为4，所以
因为定义在上的奇函数满足，所以
所以=-2+0=-2.故答案为-2
四、解答题
12．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【解析】（1）证明：因为是定义在上的奇函数，且对任意实数，，
则，所以函数是周期为的周期函数.
（2）解：当时，，
此时，.
（3）解：因为当时，；当时，，
所以，，，，，
因为，
所以，.
13．已知函数的定义域为，且满足．
(1)求证：是周期函数；
(2)若为奇函数，且当时，，求使在上的所有x的个数．
【解析】（1） ，
是周期函数，4为函数的一个周期．
（2）当时，，设，则，
是奇函数，，，即.故．
又设则，．又是以4为周期的周期函数
，．
，令，
当时，可得，所以，当时，可得，所以（舍去），
是以4为周期的周期函数，的解集为．
令，则.又，，
∴在上共有个使.
考点二 利用周期性求函数值(或解析式)
一、单选题
1．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解析】因为，所以的周期为12，
因为，所以，因为当时，，
故.故选：D
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A．2019B．3C．－3D．0
【解析】∵，∴，
又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.故选：D.
3．设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（99）=（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意，,
所以，
所以是周期为的周期函数，所以.故选：D
4．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意对，有成立，令，则，
所以，故，所以是周期为的周期函数，
故.故选：C
5．已知定义在上的函数的图像关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．D．1
【解析】因为的周期为；又，则；
，则；因为函数在上的图像关于y轴对称
所以为偶函数，故，则；
故.故选：D.
6．已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B． C． D．
【解析】函数为奇函数，则，可得
函数为偶函数，则，可得，
所以，即，即，
即，故函数是以4为周期的函数，
由，令，得，知，
则，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立.故选：C.
7．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
由，得，，
，，
所以.故选：D
二、填空题
8．已知定义在上的函数满足，当时，，则______.
【解析】由得，故是以2为周期的周期函数，
所以
9．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则＋＝______.
【解析】由题意得：函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，
且在[0，2]上的解析式为

10．已知是定义在上的周期为的奇函数，且，则的值为___________
【解析】因为是定义在上的周期为的奇函数，且，
所以，即，解得，
所以
11．设是定义域为R的奇函数，且．若，则__________．
【解析】因为是定义域为R的奇函数，则，
所以，所以是周期为4的函数，则.
12．已知函数，则________.
【解析】由题意可知的最小正周期.
因为，，，，
所以.又，
所以.
13．已知，函数都满足，又，则______．
【解析】根据题意，，显然，
所以，所以，
所以函数的周期为6，所以.
14．设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
【解析】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，则点在时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，所以，即在上的解析式.
15．函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.
【解析】由题设，，若，则，
∴，即，
∴上，当时的最小值为.
三、解答题
16．已知函数是定义在上的周期函数，周期为5，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值，
(1)求的值；
(2)求，上的解析式；
(3)求在上的解析式，并求函数的最大值与最小值．
【解析】（1）函数是定义在上的周期函数，且，所以，
而函数在区间上是奇函数，所以，所以.
（2）解：由在上是二次函数，且在时函数取得最小值，
可设，因为，即，可得，
所以.
（3）解：函数是奇函数，又知在上是一次函数，
令，由（2）得：，可得，所以当时，，
因为函数为奇函数，可得当时，，
当时，可得，所以；
当时，可得，所以，
所以函数，
当或时，函数取得最大值；
当时，函数取得最小值.
17．设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
【解析】当，即，所以，
又为偶函数，所以，所以，又是以为周期的周期函数，
于是当，即时，有，
所以，， ，.
18．设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式．
【解析】（1）证明：∵，∴．
∴是周期为4的周期函数．
（2）∵，∴，∴，∴．
∵，即．
19．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
【解析】(1)，，是周期为4的周期函数.
当时，，由已知得.
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为4的周期函数，，
从而求得时，.
(2)，，，，又是周期为4的周期函数，
.
又，.
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足．
（1）若，求；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；
（3）当时，f(x)＝2x，求f(x)在时的解析式，并写出f(x)在时的解析式．
【解析】（1）所以，故；
（2）因为，令x取x＋1得，所以，
所以，2是函数f(x)的周期．
（3）当时，，则，
又，即，解得．
所以当时，，所以，
因为f(x)的周期为2，所以当时，
．
所以.
考点三 抽象函数周期性
一、单选题
1．定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（ ）
A．B．C．2D．0
【解析】因为函数满足，所以关于对称，即①.
又因为为奇函数，所以，即②.
由①②知，所以，
即，所以函数的周期为，所以，
,因为时，，
所以，又为奇函数，所以当时，，
所以，故选：B.
2．已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
【解析】由得，
所以，即是以8为周期的周期函数，
当时，有两个零点2和4，
当时，，令，则有，
当时，，，所以无解，
所以当时，无零点，
又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点，
因此有上，有个零点．故选：B．
3．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【解析】对函数任意的实数都有，
则，则函数的周期为3，
则
定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，
则，又，，
则，，
，
则，，
则，
则，故选：A
二、多选题
4．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A．为奇函数B．4为的周期
C．D．
【解析】对于A：因为，所以的对称中心为，
因为，所以，又，
所以，则关于对称，结合的对称中心为，
所以关于轴对称，即为偶函数，故A错误；
对于B：因为，所以，又，
所以，即，
所以，即的周期为4，又，
所以的周期也为4，故B正确；
对于C：由对称中心为，得，
又因为对称轴为，所以，所以关于对称中心，
所以和关于点对称，所以，所以，
所以，故C错误；
对于D：由C得，因为，
所以，，，，
所以
，又因为的周期为4，
所以，故D正确，
故选：BD．
5．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知函数，的定义域均为R，
∵的图象关于直线x＝2对称，则，
∵，∴，∴，故为偶函数，
由，得，代入，得，
令，则，∴，则，故B正确，C错误；
因为，令，则，即，A正确；
由，故，故由得，
∴，故．所以是以4为周期的周期函数，
由，，令，则，得，则，
又，令得，得，又，
故，D正确．故选：ABD．
6．已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．，D．，
【解析】因为是偶函数，所以，可得，
故关于直线对称，因为的图象关于点中心对称，所以关于点成中心对称，
所以，又由可得，
所以，即，所以，
两式相减可得，即，所以，故A错误；
由周期，，又，所以，即，故B正确；
由周期，，，由可得，，，故C正确；
由上述分析可知，又因为，
所以，所以，
故D正确.
故选：BCD
三、填空题
7．已知函数满足：，则______.
【解析】由已知等式联想到三角公式，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数，则，
故函数满足题意，而函数是周期的函数，
.
8．定义在上的函数满足，则______．
【解析】由，则，
所以，即，所以是以4为周期的周期函数．
令，得，所以，
令，则，所以，
所以．
9．若定义域为的奇函数满足，且，则________．
【解析】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.所以函数的周期为.
因为是定义域为的奇函数，所以，即.
令，则，解得，所以.
10．若函数的定义域为，且，则______．
【解析】因为，所以，，
所以函数的图象关于点中心对称，又因为函数的定义域为，所以．
由，可得，即，
所以，，所以函数的周期是，
所以．
11．已知函数的定义域为，对任意的恒成立，若，则__________
【解析】已知，令，
则，即.
因为，即，
所以，即函数的周期为6.
令，，又，则，令，
，同理，，，，
.
四、解答题
12．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
【解析】（1）因为对任意的，都有，
所以，又，
，，∴.
（2）设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，所以，
∴，将上式中以代换，得，
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知，
∵，
又，∴.∵的一个周期是2，∴，因此．
考点四 函数周期性的应用
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解析】由已知可得，，所以周期为2.
又函数是定义在R上的偶函数，当时，，
根据已知，作出函数的图象，以及的图象

因为，，由图象可知，与交点的个数共有9个，
所以，函数的零点个数为9.故选：D.
2．已知定义域为R的偶函数满足对，有，并且当时，，若函数在上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由得，以代，得，
由于为偶函数，所以，得出，可知图像以为对称轴．
在，令，得出，所以，函数周期，
时，，作出的图像，如图所示，

的图像与的图像至少有三个交点，即有且，解得，
故选：A．
3．已知函数的定义域为，其导函数为，若为奇函数，为偶函数，记，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为为奇函数，所以，即，
两边同时求导得，即，
所以的图象关于直线对称，且①；
又为偶函数，所以，即，
两边求导得，即，
所以的图象关于点中心对称，且②；
由①②得，即，
所以，所以的一个周期为，因为当时，，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
作出函数与的图象如图所示，

由，解得，由，解得，
结合图象可知不等式的解集为.故选：C
4．若函数满足对都有，且为上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】由为R上的奇函数,①，
又 ②，
由②－①为周期为2的周期函数,
而又，
当时当时,．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数 的大致图象如图：

而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，1为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与在（2，3），（4，5）上各有一个交点，
∴集合中的元素个数为3．故选：A．
二、多选题
5．已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【解析】由题意知函数，的定义域均为，
的图象关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
由，得，代入，得，
令，则，，则，故B正确，C错误；
，令，则，即，A正确；
由，故，故由得，
，故，是以4为周期的周期函数，
由，，令，则，得，
则，又，令得，得，
又，故
，D错误．
故选：AB．
6．已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（ ）
A．为奇函数 B．在上的解析式为
C．的值域为 D．
【解析】根据题意，时，，因为时，，
所以，又由，则，
即，，
若，则，，
若，则，，
故在区间上，所以关于原点对称，
又由，则，即函数是周期为的周期函数，
故的图象关于原点对称，由此分析选项：
对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确；
对于B，当时，则，则，
函数是周期为的周期函数，则，故B正确；
对于C，在区间上，，则，，
所以，故的值域一定不是，故C错误；
对于D，因为时，，所以，，
又，则，
则有，，故，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
7．已知和都是定义在上的函数，是偶函数，关于对称；是奇函数，关于对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．
C．函数关于点对称D．
【解析】由是偶函数知关于对称，所以，又关于对称，
所以，则，即，所以的周期为，故A错误；
无法求出的值，故B错误；
由是奇函数知关于对称，故C正确；
关于的对称点为，所以，故D正确.
故选：CD．
三、填空题
8．已知定义在R上的函数是周期为3的奇函数.当时，，则函数在区间上的零点个数是______.
【解析】由于定义在R上的函数是周期为3的奇函数，
当时，，由于当时，，
则有，又，即有，
由于，则有，令，解得或，
所以在时，，，即一个周期内有3个零点.
在区间上，，，，，
，，，
，又，可得，，
则在内共有8个零点；由的图象关于原点对称，可得在内也有8个零点，
所以在上共有8+8+1＝17个零点.
9．已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】当时，，；故时，，
当时，，即.
，即，，画出函数图像，如图所示：

当时，最多有一个交点，不满足；
当时，有两个交点，则，即，.
综上所述：.
四、解答题
10．已知函数的定义域为，且满足．
(1)求证：是周期函数；
(2)若为奇函数，且当时，，求使在上的所有x的个数．
【解析】（1） ，
是周期函数，4为函数的一个周期．
（2）当时，，设，则，
是奇函数，，，即.故．
又设则，．又是以4为周期的周期函数，
，．
令，当时，可得，所以，
当时，可得，所以（舍去），
是以4为周期的周期函数，的解集为．
令，则.又，，
∴在上共有个使.