新高考数学二轮复习函数专题突破练习专题10 函数的单调性和奇偶性综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习函数专题突破练习专题10 函数的单调性和奇偶性综合（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项，定义域，所以单调性直接不满足，排除；
对于B选项，定义域，，不是奇函数，排除；
对于C选项，，，为奇函数，且在上单调递增，故C选项正确；
对于D选项，定义域，，故为偶函数，排除.故选：C.
2．若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】是偶函数，所以，
在上是减函数，所以在上是增函数，
所以，故.故选：B
3．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，，在函数中，，为奇函数，，
∴，，
∵对于任意的，且，都有，
∴函数在上单调递增，在上单调递增，
当时，若，则；若，则，此时.故选：D.
4．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解析】当时，得出，因为在上是减函数，所以；
当时，得出，因为在上是减函数，所以
即的解集是或，故选：D
5．已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【解析】由任意的，（），都有可知在 单调递减，
由于是定义在上的偶函数，所以在单调递增，
由得，平方可得 ，解得或 ，故选：A
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，因为是定义在上的偶函数，
所以，
因为，，，
且在上单调递减，所以，即.故选：A.
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C． D．
【解析】的定义域为，，所以是奇函数，
又恒成立（仅当时等号成立），所以在上单调递增，
由得，所以，解得，故选：B.
8．已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，其中，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
又因为，故函数为奇函数，
由可得，
所以，，所以，，
令，因为，当且仅当时，等号成立，所以，.
故选：B.
9．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】不妨设，且，因为，所以，
不等式两边同除以得，，即，
令，则，所以在上单调递减，
定义域为，又是定义在上的奇函数，
故，所以为偶函数，
故在上单调递增，因为，所以，
当时，变形得到，即，解得，所以解集为，
当时，变形得到，即，解得，
所以解集为，所以不等式的解集为.故选：D
10．已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为分别为偶函数和奇函数，且①，
所以，即②，
①②联立可得，，
不等式为，且，
设，，则，故在上是增函数，，
所以，则，又在时是增函数，
所以，故，要使，在恒成立，则，
即实数a的最大值是.故选：D．
二、多选题
11．定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为定义在上的函数满足，
所以是奇函数，从而，所以A正确；
因为是单调函数，且，
所以是上的单调递增函数，故，所以B正确；
取，则满足题干的所有条件，此时，所以C错误；
由于，且是上的单调递增函数，
故，所以D正确.故选：ABD.
12．已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】因为，
所以，
所以关于对称，，
当且仅当，即时等号成立，
又因，所以恒成立，则是增函数，
因为，所以，则.故选：CD.
13．已知函数在上单调递增，且是偶函数，奇函数在上的图象与函数的图象重合，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．函数的图象关于y轴对称
C．函数在上是增函数 D．若，则
【解析】对于B选项，因为是偶函数，所以，
所以函数关于直线对称，且在上单调递增，故B错误；
对于A选项，由上知，在上单调递增，
所以，即有，故A正确；
对于C选项，因为奇函数在上的图象与函数的图象重合，
在上单调递增，即在上单调递增，
由奇函数性质知，在上单调递增，故C正确；
对于D选项，由得，又在上单调递增，
在上单调递增，所以，，
所以，故D正确．故选：ACD．
14．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，均在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意得在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，A正确；
因为，所以，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，D错误.故选：AC
15．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则或
C．若，则 D．，使得
【解析】由①，，得为偶函数，
②，，当时，都有，所以在上单调递减，
故,故A正确；
对于B，由,可得或，解得或，故B正确；
对于C，由，得，
若，则或，解得，故C错误；
对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，
又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，
所以，，使得，故D正确．故选：ABD
16．已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．的值域为
C．若，则 D．若，则
【解析】函数的定义域为R，且，
则为奇函数，故A正确；
，则，则，故B正确；
即，即，得，故C错误；
在R上单调递增且，则在R上单调递减，
故在R上单调递减，又为奇函数，
则，即；
解得，故D正确；故选：ABD.
17．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数的定义域上单调递减D．若实数，满足，则
【解析】对于A选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
又因为
，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D错误.
故选：AB.
18．已知函数，实数，满足不等式，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】利用函数的性质可以判断为奇函数，
由可得：；，
利用导数可知其在上单调递增，从而可得：，即有：.
显然可得：选项AC成立，选项D错误；令，，可验证选项B错误；故选：AC.
三、填空题
19．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.
【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得.
又，当时，，
函数在上单调递减，，，解得，故答案为：.
20．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则、、的大小关系为__________．
【解析】因为定义在上的奇函数，满足，
则，所以，函数是周期为的周期函数，
所以，，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，所以，，即.
21．已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为________．
【解析】∵恒成立，∴函数的定义域为．，有成立，
，
，∴，∴为定义在上的奇函数．
由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减，
∴在区间上单调递减，
又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减.
∴由得，
∴正数，满足，即，∴由基本不等式，
，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．
22．已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【解析】由，且定义域为R，
所以为奇函数，则，
根据在R上均为减函数，故也为减函数，所以，则.
23．已知函数是定义在R上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为_________．
【解析】令，因为函数是定义在R上的奇函数，
则，故为定义在R上偶函数，
由，得在为减函数，
由，可得，
即，故，所以，即，
解得或，所以不等式的解集是.
24．奇函数满足：对任意，，都有且，则不等式的解集为______．
【解析】因为对任意，，都有，
即，所以在上递减，又因为是奇函数，
所以在上递减，，则当时，或，
当时，或，因为，
所以不等式，等价于不等式，即，
则有或，解得或，
所以不等式的解集为.
25．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.
【解析】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；
又，可得，所以；
易知函数在上单调递增，所以不等式即为，
根据函数单调性和奇偶性可得，解得.故答案为：
26．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围_______.
【解析】解：令，
则，是奇函数，
设，则，，，
，∴，从而，
所以在上是单调递减，又是奇函数，所以它在上也是单调递减，
所以在上是减函数，
不等式可化为，
即，，
所以，，令设，
，，
当时，，，，所以在单调递减，
当时，，，，
所以在单调递增，因为，∴在上的最小值为，所以
27．函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.
【解析】依题意函数是奇函数，且在是单调增函数，又，
所以，所以的值域是.所以对任意恒成立，
即任意恒成立，
所以，解得或或，所以的取值范围是.
28．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______．
【解析】的定义域为，且
则为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知，函数为增函数，
不等式对任意实数恒成立，等价于，
可得，即，因为,
当且仅当即时,取等号，所以.
四、解答题
29．已知函数是奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明在R上为减函数；
(3)若不等式成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）∵的定义域为R，又∵为奇函数，∴由得，
此时，∴为奇函数，所以．
（2）任取，，且，则，
∵，∴，∴．又∵，∴，即，
故为R上的减函数．
（3）因为为奇函数，所以，可化为，
又由（2）知为减函数，所以，所以或．
30．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式.
(2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围.
【解析】（1）函数是定义在R上的奇函数，所以，解得.
当时，，当时，，
所以.
（2）当时，，单调递增，
因为在上是增函数，又为奇函数，所以在R上单调递增.
因为为奇函数，，所以，即，
则对任意的，恒成立，即对任意的恒成立.
当时，取最大值，所以.故的取值范围是.
31．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性（无需证明），并解不等式．
【解析】（1）设，则，因为是定义在上的偶函数，所以
，所以；
（2）由（1）知，时，.
因为与在上都是增函数，
所以在上为增函数，在上为减函数，
由，
解得，所以该不等式的解集为.
32．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间的最小值；
(3)解关于的不等式：．
【解析】（1）为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称，
令得，解得，
令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，
（2）任取，且，则.因为当时，，所以.
，即，所以在上单调递增，
所以在区间的最小值为，因为，令得，
令，得，
在区间的最小值为，
（3）由，得，
由得，
由在上单调递增得整理得，即，
当时，，解得；当时，，
当时，，，解集为，
当时，，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为．
33．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数有2个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）易知函数的定义域为，函数为偶函数．
，即，
，.
（2），设，
，
所以当时单调递增，在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，，解得或，
所以不等式的解集为
（3）函数与图象有2个公共点，
有两个解，
即有两个解，设，则，即，
又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；
从而必须满足：，解得，
所以实数的取值范围是．
34．已知函数定义域为，.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
所以为定义域上的奇函数，又因为，
易知为单调递增函数，所以不等式等价于，
解得，所以不等式的解集为：；
（2）解：由(1)可知为上的单调递增的奇函数，
又因为，所以，所以，
因为，又因为，
所以，
即，即有，
令，由题意可得，设，则，所以单调递增，
所以，则有，
即存在实数，使在上成立，所以只需即可，
由二次函数的性质可得，只需或即可，即或，解得，
所以实数的取值范围为.