初中华东师大版（2024）12.1 命题、定义、定理与证明精品ppt课件

这是一份初中华东师大版（2024）12.1 命题、定义、定理与证明精品ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了复习回顾，真命题和假命题，举反例，真命题，假命题，结果都是质数，探讨归纳，基本事实，一般举一个反例即可，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义.
讨论：你能举出其他类似的例子吗?
讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题?(1) 内错角相等,两直线平行；(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角；(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；(4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5) 两点确定一条直线.
(4)(5)是公认的真命题.
(4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5) 两点确定一条直线.
基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗?
2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
1. 两点之间线段最短.
3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
(1) 内错角相等,两直线平行
“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据.
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2 + 1 = 3，2×3 + 1 = 7，2×3×5 + 1 = 31，2×3×5×7 + 1 = 211，
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？
试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？
(2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面的几个例子说明了什么问题？
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系：
定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围.
经过证明的真命题叫定理
例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°.
求证：∠A +∠B = 90°.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质).
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.
例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
你能根据图写出此定理的已知和求证吗？
证明：我们将∠1的同位角记为∠3.
∵ a∥b (已知)，
∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　
已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角.求证：∠1 + ∠2 = 180°.
∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换).
又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)，
1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小题（1）所示的定理：（1）同旁内角互补，两直线平行；
解：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行.
已知：如图，直线a、b被直线c所截，∠1+∠2=180°.求证：a∥b.
证明：∵∠1+∠3=180°(平角的定义)，∠1+∠2=180°(已知)，∴∠2=∠3(同角的补角相等)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
（2）三角形的外角和等于360°.
解：如果三个角分别是一个三角形的三个外角，那么这三个角的和等于360°.条件：三个角分别是一个三角形的三个外角；结论：这三个角的和等于360°.
已知：如图，△ABC中，∠DAC，∠EBA，∠BCF为△ABC 的外角．求证：∠DAC+∠EBA+∠BCF=360°．证明：由题意，可得∠BAC+∠CAD=180°，∠ABC+∠EBA=180°，∠BCA+∠BCF=180°，∴∠BAC+∠CAD+∠ABC+∠EBA+∠BCA+∠BCF=540°．由三角形内角和定理知：∠BAC +∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=540°−180°=360°．即三角形外角和等于 360°．
2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由.
解：假命题.理由：如图，直线AB、AC被直线BC所截，∠2与∠1是内错角，但∠2≠∠1.
3.如图，已知∠B=50°，∠C=70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE=120°.求证：DE∥AC.对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明 ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∠B=50°(已知) ，∠C=70°(已知)，∴∠A=60°(等式的性质).____________________________________，____________________________________，____________________________________.
∵∠ADE=120°(已知)
∴∠A+∠ADE=180°
∴DE∥AC(同旁内角互补，两直线平行)
1．下列属于定义的是(　　)A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的补角相等D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
2．“两点之间线段最短”是(　　)A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理
3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程：①因为∠A＝∠C(已知)；②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；④所以∠B＝∠D(等量代换)；⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)．正确的顺序是________________．
5. 完成下面的推理填空：已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G.求证：AB∥CD.证明：∵AF⊥CE(已知)，∴∠CGF＝90°(垂直的定义)．∵∠1＝∠D(已知)，∴________∥________(_____________________________)，
同位角相等，两直线平行
∴∠4＝∠CGF(____________________________)，∴∠4＝90°.又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°.又∵∠2与∠C互余(已知)，∴∠C＝∠3(同角的余角相等)，∴AB∥CD(____________________________)．
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG，可以添加的条件是________________________________；(2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明．条件：________________________，结论：___________.(填序号)
∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一)
证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD.∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC.
7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________；
共线(或在一条直线上)
【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性；
【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的．
∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的．