数学5.2 勾股定理及其逆定理精品ppt课件

这是一份数学5.2 勾股定理及其逆定理精品ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了勾股定理的逆定理，证一证，特别说明，解根据题意得，用到了方程的思想等内容，欢迎下载使用。
3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．
同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵ 32 + 42 = 52，∴满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 .求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a = 6， b = 8，c = 10；
解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102.因此这个三角形是直角三角形.
(2) a = 12，b = 15，c = 20.
(2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202.因此这个三角形不是直角三角形.
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
【变式题】若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2.∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长.
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________.
等腰三角形或直角三角形
勾股定理的逆定理的应用
例3 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？
16×1.5 = 24
12×1.5 = 18
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航向所成角.
PQ = 16×1.5 = 24 (海里)，
PR = 12×1.5 = 18 (海里)，
QR = 30 海里.
∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°，∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.
（1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2. ∴ △BDC 是直角三角形.（2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1. 在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22， 解得
2.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________．
（2）求图中阴影部分土地的面积.
9. [全国初中数学联赛]已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形