5.4.2角平分线的性质定理的逆定理（培优课件）-2026-2027学年湘教版数学八年级上册（新教材）

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.4 角平分线的性质精品ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了P到OA的距离，P到OB的距离，角平分线上的任意一点，可得PDPE，作射线OP，应用所具备的条件，应用格式，说一说，三角形的内角平分线，判定角平分线等内容，欢迎下载使用。
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1. 叙述角平分线的性质定理.
2.利用下图来解释说明一下角平分线的性质定理.
3. 角平分线的性质定理：
逆命题：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
那么这个命题的逆命题是什么，它是真命题吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理
探究：刚才我们通过角平分线的性质定理得到了它的逆命题：
这个新命题是真命题吗？如何判断这个命题的真假？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO = ∠PEO = 90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等).
角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
（1）位置关系：点在角的内部
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：(1) 点 B 在 ∠ADC 的平分线上; (2) BD 平分∠ABC.
证明 (1) 在 △ABC 中，因为∠1=∠ 2，所以 BA = BC.又 BA⊥AD，BC⊥CD,所以点 B 在∠ADC的平分线上，(2)在 Rt∠BAD 和 Rt∠BCD 中，
所以 Rt△BAD ≌ Rt∠BCD（斜边、直角边)因此∠ABD＝∠CBD,从而 BD 平分∠ABC.
如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE=S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗?
由于S△BDE=S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上.
如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢?
添加条件 MN ＝ ME 即可.因为 ME⊥CD，MN⊥AC，MN = ME，所以点 M 在∠ACD 的平分线上，即 CM 是∠ACD 的平分线.又 M 是 EF 的中点，则 MF = ME = MN.同理可证 AM 是∠CAB 的平分线.
反思 添加条件 MN＝MF 可以吗?
操作 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等.
思考 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？
可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等.
① 在△ABC 中分别作∠BAC与∠ABC 的平分线，它们交于点 P .② 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点 D，E，F.③ 因为 AP 是∠BAC 的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以 PD = PE.因为 BP 是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF ⊥BC，所以 PD = PF. 故 PD = PE = PF.
想一想：点 P 在∠C 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在 ∠A 的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
例2 如图，在∠ABC 的外角∠CAD 的平分线上任取一点 P，作 PE⊥DB，PF 上 AC，垂足分别为点 E，F .试探索 BE+PF 与 PB 的大小关系.
解 ：因为 AP 是∠CAD 的平分线，又 PE⊥DB，PF⊥AC,所以 PE = PF .在 △EBP 中, BE+PE > PB，因此 BE+PF >PB.
2.联系角平分线性质：
1.应用角平分线的判定与性质：
1．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　)A．点M B．点N C．点P D．点Q
A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处
3．[泰安市期中]如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________．
5．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________．
【点拨】如图，过点O，O′，O″分别作OD⊥AB于D，O′E⊥BC于E，O″F⊥CA′于F.因为直线MN∥l，所以OD＝O′E＝O″F，所以点O为△ABC三条内角平分线的交点，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝2(180°－∠BOC)＝2(180°－115°)＝130°，所以∠BAC＝50°.
6. 如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______．
【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF，同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5.
7．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹)
8. [宣城市自主招生]如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　)A．S1＋S3＝S2＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＝S3