新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了如图，正方体的棱长为2等内容，欢迎下载使用。
（1）证明：；
（2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为四边形为菱形，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，故．
（2）设，则为、的中点，
又因为，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
所以为与平面所成角，故，
由于四边形为边长为，的菱形，
所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则，，，1，，，，，，0，，
由，
得，且，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为．
（1）求证：平面．
（2）若，求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：设，连接，
由于，分别是，的中点，
所以，
由于平面，平面，
所以平面．
（2）设是的中点，连接，，
则，
所以平面，
由于，平面，
所以，，
由于，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，则，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故可设，
设二面角为，由图可知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
3．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）证明：；
（2）若，求点到平面的距离．
【解答】证明：（1）分别连接，，为中点，为等边三角形，
，点在底面上的投影为点，平面，
又平面，，
又，平面，平面，
面，
又面，．
解：（2）设点到平面的距离为，点到面的距离为，
，，
为在底面上的投影，为与面所成角，，
垂直平分，，为正三角形，，
中，易得，
，到的距离为，
，又，
由，，
，
，
点到平面的距离为．
4．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点．
（1）证明：．
（2）设，若到平面的距离为，求．
【解答】证明：（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，0，，，2，，，4，，，4，，所以，0，，，2，，
所以，
所以，即；
解：（2）因为，4，，，2，，
所以，，，
设平面的法向量为，，，
所以，即，令，解得，0，，
因为，0，，
所以到平面的距离，
由题意可知，解得．
5．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
是的中点，
，4，．
（1），则．
设点到直线的距离为，
则．
（2）设平面的一个法向量为，
则由，
得，
令，则，即．
易知，设点到平面的距离为，
则．
6．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点．
（1）求此三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）求与平面所成角的大小．
【解答】解：（1）设底面正三角形的边长为，则其面积为，
三棱柱的体积为，
，解得，
三棱柱的侧面积为，
三棱柱的表面积为．
（2）如图，
取的中点，连接，，可得，
异面直线与所成角，即为直线与所成角，
，
在直角△中，有，
在直角中，有，
取的中点，连接，，
在直角中，有，
在中，由余弦定理得：
，
异面直线与所成角的大小为；
（3）如图，
取的中点，可得，
由正三棱柱的结构特征易知平面平面，
又平面平面，
平面，
直线与平面所成的角即为，
在△中，，
又，
在△中，
，
．
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【解答】解：（1）如图，
连接，交于点，连接，
为中点，为中点，
，
又平面，平面，
平面；
（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，
，1，，，
，
由题有轴面，显然向量是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
，
，
即直线与平面所成角的余弦值为．
8．如图正方体中，棱长为，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的大小．
【解答】解：（1）证明：如图，
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，，，，0，，
，0，，，，，，，，，0，，
（1），，，，0，，
，
；
（2）解：，0，，，，，，，，
，，，，，，，
设平面的一个法向量为，，，则即，
令，则，，所以，
设与平面所成角的大小为，
则，，
与平面所成角的大小为．
9．如图，正方体的棱长为2．
（1）用空间向量方法证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由题，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
正方体的棱长为2，
，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，，即；
，
，又平面，
平面；
（2），2，，，0，，
，
由（1）知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
10．如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到点的位置，．
（1）证明：平面平面；
（2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【解答】（1）证明：连接，，与交于点，连接，
则，
又，分别为，的中点，所以，
则，
因为，，，
所以平面，
又平面，所以，
在菱形中，，，
则在中，由余弦定理得，
因为，所以，
则，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：以为原点，以，所在直线分别为，轴，
过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
由（1）可知，平面平面，易知
所以，．
设平面的法向量为，
则即
令，则．
设，
则，
设与平面所成角为，
显然当时，，不满足题意，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值为．
11．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接与相交于点，连接，
四边形为菱形，，
△为等边三角形，是的中点，
，
又、面，，
面，又面，
，
又，，，平面，
平面．
（2）解：设，分别为，的中点，连接，，
由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，
又因为△为等边三角形，，平面
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，2，，，2，，，
，，，
设，，
则，，
设平面的一个法向量，
则有，
当时，则，则平面和平面垂直，显然不可能，即，
令，则，
由题易知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
，，
，
，解得，，
，
，
点存在，．
12．如图，某多面体的底面为正方形，，，，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
【解答】解：（1），，
，
，，，平面，
平面，
，
（2）因为四边形为正方形，所以，又，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，
．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，则，
所以，平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
所以，
所以，即二面角 的平面角的正弦值为．
13．如图，在四棱锥—中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在侧棱内找一点，使面，并求出点到和的距离．
【解答】解：（1）取中点，连接、，则，
由侧棱底面，平面，所以，
因为，所以，
又因为为矩形，所以，侧棱底面，平面，所以，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，因为，，
，平面，所以底面，
则为与平面所成角，在中，，，，
即直线与平面所成角的正切值为．
（2）在面内过作的垂线交于，则，
连，则在中，，，
设为的中点，连，则，
因为，，，，平面，
所以面，
平面，所以，又因为，则，
在平面内，点平面内，平面内，且直线，点不在平面内，
所以与为异面直线，又因为平面，所以，
所以与异面垂直，即，，，平面，从而面，
所以点到的距离为，点到的距离为．
14．如图，在长方体中，，，点在上，且．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【解答】解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设直线与直线所成角为，
则．
（2）由题意，
设平面的法向量为，
则，取，又，
所以到平面的距离为．
15．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到位置，使得平面平面（如图．
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为，，，为的中点，
所以，，，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，
所以，
则二面角的余弦值为；
（2）设，则，因为，1，，，，，
则，，，，
由（1）知平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为，
化简得，解得或（舍去），
故存在，使得与平面所成角的正弦值为．
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点是中点．
（1）证明：面；
（2）若面面，求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取的中点，连结、，为中点，，且，
在梯形中，，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面．
（2）解：取的中点，连接，的中点为，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，面面，所以，，，
分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，2，，，4，，，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，2，，，2，，
设，，为平面的一个法向量，则，
取，得，，，，，
设平面的一个法向量为，，，则，取，则，，
所以，2，，
．二面角为钝二面角，
因此，二面角的余弦值为．
17．如图，在四棱锥中，，，，，，．是棱上一点，平面．
（1）求证：为的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件①：点到平面的距离为；
条件②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解答】（1）证明：过点作交于点，连接，如图所示：
因为，所以，所以，，，四点共面，
又因为平面，平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，，
由，，所以，，
所以，，所以为的中位线，
故为的中点；
（2）解：过作于，连接，
因为，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
因为，所以为中点，则，即，
又平面平面，所以平面，
又平面，所以，
如图，建立空间直角坐标系，设，
由题意得，，1，，，1，，，0，，，，，，0，，
所以，0，，，1，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，令，得，
可得平面的法向量为，，，
选择条件①：
因为到平面的距离为，
所以，解得，
所以四棱锥的体积
；
选择条件②：
因为直线与平面所成的角为，，
所以，解得，
所以四棱锥的体积
．
18．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且．
（1）证明：平面平面．
（2）若为的中点，求点到平面的距离．
【解答】（1）证明：因为为等边三角形，，分别是，的中点，
且，所以，
所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：连接，由于为等边三角形，是的中点，
所以，
又由（1）可知平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，
因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
在直角中，可知，
在直角中，可知，
因为是的中位线，所以，
的面积，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
又的面积，
点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积，
由，得，
即点到平面的距离为．
19．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，二面角的大小为，是中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
因为直角梯形中，，且，
所以四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，
又是中点，，平面，平面，
平面，
又，，平面，平面平面，
平面，平面；
（2）解：连接，由，知：，
由（1）知：且，
，在平面内过点作交于点，
则，，两两互相垂直，以为坐标原点，
以方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，
从而，
设平面的法向量为，
则有，即，令，得，
易知平面的一个法向量为，
，
由题意知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
20．如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，．
（Ⅰ）求平面与平面所成二面角大小．
（Ⅱ）点在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）四边形是矩形，，
，，平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
平面与平面的交线为，，
平面，
平面，平面平面，
平面与平面所成二面角大小为．
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，连接，
则平面与平面交于，
，平面，
平面，，点为的中点，
则，0，，，，，，0，，，0，，，
，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
则，
与平面所成的角的正弦值为．