新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练5-8 空间距离及立体几何中的探索性问题 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.
2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc15977" 5-8 空间距离及立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc15977 \h 1
\l "_Tc18446" 一、主干知识 PAGEREF _Tc18446 \h 1
\l "_Tc28418" 考点1：点到直线的距离 PAGEREF _Tc28418 \h 1
\l "_Tc20655" 考点2：点到平面的距离 PAGEREF _Tc20655 \h 2
\l "_Tc384" 二、分类题型 PAGEREF _Tc384 \h 2
\l "_Tc8498" 题型一 空间距离 PAGEREF _Tc8498 \h 2
\l "_Tc20639" 题型二 立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc20639 \h 3
\l "_Tc26624" 题型三 共线定理及其应用 PAGEREF _Tc26624 \h 4
\l "_Tc32084" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc32084 \h 5
一、主干知识
考点1：点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq \r(a2－a·u2).
考点2：点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝
二、分类题型
题型一 点到直线距离问题
如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）

A．B．C．D．
如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
点到直线的距离
(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝
eq \r(|\(PA,\s\up6(→))|2－\(PA,\s\up6(→))·n2).
(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.
（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．
(1)求点M到直线的距离；
(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.
如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足．
（1）求证：；
（2）求点到直线的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值．
题型二 点到平面距离问题
如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．

(1)求点A到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.

(1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离.
（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.

(1)求证：//平面ABC；
(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
（2023·河北·统考模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱上一点，，过，，三点作平面交于点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
题型三 平行平面间的距离问题
（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
题型四 异面直线的距离问题
如图，在三棱锥中，，平面平面.

(1)求异面直线与间的距离；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.
如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
如图所示，在空间四边形中，，，，．
(1)求证：；
(2)求异面直线与的距离；
(3)求二面角的大小．
如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
如图，在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求异面直线PB与CE的距离.
如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：
(1)异面直线，所成角的大小；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线，的距离．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023春•常州期中）已知空间中三点，0，，，1，，，，，则点到直线的距离为
A．B．C．D．
2．（2022秋•广东期末）如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为
A．B．C．D．
3．（2022秋•锦州期末）直线的方向向量为，且过点，1，，则点，2，到的距离为
A．B．C．D．
4．（2022秋•西青区校级期末）已知空间内三点，0，，，2，，，3，，则点到直线的距离是
A．B．C．D．
5．（2022秋•潢川县校级期末）已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
6．（2022秋•通州区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点，分别是，的中点，则点到平面的距离为
A．B．C．D．2
7．（2023春•雨花区校级月考）已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为 ．
8．（2022秋•滨海新区校级期末）若空间中有三点，1，，，1，，，2，，则到直线的距离为 ；点，2，到平面的距离为 ．
9．（2022秋•石景山区期末）正方体的棱长是1，则点到平面的距离为 ．
10．（2023春•田家庵区校级期末）在长方体中，，，是的中点．
（1）求到面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
11．（2023•湖南一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．
（1）求点到平面的距离；
（2）为线段上一点，若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
12．（2022秋•上栗县校级期末）如图，在四棱柱中，，，分别是，，的中点．平面，，，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值．