新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章专题7.5 空间向量与立体几何（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章专题7.5 空间向量与立体几何（2份，原卷版+解析版），共8页。
\l "_Tc154093382" 题型二： 共线、共面向量定理 PAGEREF _Tc154093382 \h 10
\l "_Tc154093383" 题型三： 数量积运算 PAGEREF _Tc154093383 \h 15
\l "_Tc154093384" 题型四： 求夹角取值范围 PAGEREF _Tc154093384 \h 17
知识点总结
空间向量及其有关概念
空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则eq \(P1P2,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
用空间向量研究直线、平面的位置关系
例题精讲
空间向量的线性运算
【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
已知点，3，，，3，，，则点的坐标为
A．，3，B．，，C．，6，D．，3，
【解答】解：设，，，
因为，3，，，3，，
所以，，
因为，所以，，，0，，
所以，解得，即，3，．
故选：．
在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则
A．B．
C．D．
【解答】解：在正四面体中，平面，
为的中心，连接，
则，
．
故选：．
如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：在空间四边形中，，，，，点为的中点，
则
．
故选：．
在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，．
故选：．
如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则
A．B．
C．D．
【解答】解：，，．
因为是的中点，
所以，
又因为点在上，且，
所以
，
所以．
故选：．
如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则
A．1B．C．D．
【解答】解：根据题意，，
又，
则，，，
则．
故选：．
平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：依题意
，
又，所以，．
故选：．
如图，平行六面体的各棱长均为1，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由已知可得，，，
而，
，
．
故选：．
在平行六面体中，，，，，，则的长
A．10B．C．D．
【解答】解：如下图，，则，
所以，
又，，，，，
所以．
故选：．
三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求的长．
【解答】解：（Ⅰ）由图形知．
（Ⅱ）由题设条件
，
，．
如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，则下列说法错误的是
A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上
【解答】解：如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，
对于：当时，，又，，所以，
则点在棱上，故正确；
对于：当时，，，，点在线段上，故错误；
对于：当时，，
所以，及，且，，点在棱上，故正确；
对于；当时，，，
即，所以点在线段上，故正确．
故选：．
共线、共面向量定理
【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①eq \(PA,\s\up16(→))＝λeq \(PB,\s\up16(→))；②对空间任一点O，存在实数t，使eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(AB,\s\up16(→))；③对空间任一点O，eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))或eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))，这里x＋y＝1.
(2)对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))；②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OM,\s\up16(→))＋xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))；③对空间任一点O，eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))＋zeq \(OM,\s\up16(→))，其中x＋y＋z＝1；④eq \(PM,\s\up16(→))∥eq \(AB,\s\up16(→)).
已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为
A．1B．C．D．
【解答】解：向量与向量，共面，不共线，则，
即，2，，，，
所以，解得．
故选：．
在下列条件中，点与点，，一定共面的是
A．B．
C．D．
【解答】解：若点与点，，共面，则，，共面，从而存在实数，使得，
即，
，
，
而选项都不满足，故错误；
对，由，可得，
因为，所以错误；
对，可得，化简可得，满足，故正确．
故选：．
已知是空间两个不共线的向量，，那么必有
A．共线B．共线
C．共面D．不共面
【解答】解：若共线，则，
又，所以，，则共线，
与条件矛盾，故错误；
同理若共线，则，
又，所以，，则共线，
与条件矛盾，故错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即正确，错误．
故选：．
在下列条件中，一定能使空间中的四点，，，共面的是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据共面向量定理，，
若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是，
由此得到选项，，均不正确；
对于，，，，，四点共面．
故选：．
已知，若共面，则实数的值为
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：显然向量与不平行，而，，共面，
则存在实数，使，即，5，，，，4，，
于是，解得，所以实数的值为5．
故选：．
已知向量，，若，则
A．B．C．D．7
【解答】解：由，可得，
即，，，0，，
即，解得，，
则．
故选：．
在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．
（1）用，，表示，；
（2）求证：，，，四点共面．
【解答】解：（1），分别是，的中点，
，
，分别是，的中点，
；
证明：（2），，，
，
，
从而，，，四点共面．
已知空间三点，，，，1，，，3，，设，，．
（1）判断的形状；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）由于空间三点，，，，1，，，3，，
故，，，
所以，故为等腰直角三角形；
（2）空间三点，，，，1，，，3，，设，，．
故，，
由于，故，解得．
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值．
【解答】解：（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在实数使得，
，，，联立解得．
如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
（1）证明、、、四点共面；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）证明：，
又，
又，
，
，
故、、、四点共面；
（2），
又，
，，，．
数量积运算
【要点讲解】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
向量，，满足，，且，则
A．B．C．22D．
【解答】解：因为，，且，
所以，
所以．
故选：．
已知点，2，，，1，，，0，，则
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为点，2，，，1，，，0，，
则，
所以．
故选：．
设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：向量 在向量 上的投影向量为，
又向量在向量上的投影向量为，
则．
当且仅当 时，等号成立，所以的最小值为．
故选：．
已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是
A．，2，B．，2，C．，2，D．，2，
【解答】解：空间向量在坐标平面上的投影向量为，2，．
故选：．
已知四面体的所有棱长都等于2，是棱的中点，是棱靠近的四等分点，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：如图：是棱的中点，是棱靠近的四等分点，
，
空间四面体的每条棱长都等于2，
每个面都是等边三角形，
．
故选：．
已知向量，若，，，共面，则在上的投影向量的模为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，共面，则存在实数，，使得，即，1，，，，
于是，
所以在上的投影向量的模为．
故选：．
已知空间向量，，，，2，，若，则的值为
A．1B．C．2D．
【解答】解：空间向量，，，，2，，
，
．
故选：．
求夹角取值范围
已知空间三点，，，，0，，，3，，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
所以，
又，所以．
故选：．
已知向量，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解答】解：根据，
可得，2，，，，，
于是，
即，
所以与的夹角为．
故选：．
若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：因为，，
令与共线，则，即，，，0，，
即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且．
故选：．
已知向量，，，，2，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【解答】解：向量，，，，2，的夹角为钝角，
，
解得，且，
实数的取值范围为，，．
故选：．
若单位向量与向量的夹角等于，则
A．B．C．D．
【解答】解：单位向量，，与向量，1，的夹角等于，
，且，
即，
，即，
故选：．
设，，向量，1，，，，，，，，且，，
（1）求；
（2）求向量与夹角．
【解答】解：（1），，向量，1，，，，，，，，且，，
可得，，解得，，
则，，，
则．
（2）因为，4，，
所以
向量与夹角为．
如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，为棱上一点，且，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）求，．
【解答】解：（1）依题意可得，，，，3，，，3，，，0，．
（2）因为，，
所以，．
名称
定义
共线(平行)
向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向
量定理
对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向
量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量
基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向
向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇒n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔m·n＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0